Теоретичні відомості про Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь

 

 

Метод Гауса називають ще методом послідовного виключення невідомих. Він полягає в наступному: систему рівнянь приводять до рівносильної їй системі з трикутною матрицею (системи називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають). Дані дії називаються прямим ходом. З одержаної системи невідомі знаходять за допомогою послідовних підстановок, які називають зворотнім ходом. При виконанні прямого ходу використовують наступні перетворення:

1. множення або ділення коефіцієнтів вільних членів на одне і теж число;

2. додавання або віднімання рівнянь;

3. перестановка рівнянь системи;

4. виключення з системи рівнянь, в яких всі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю.

Універсальність методу Гауса полягає в тому, що за допомогою нього можна розв’язати систему будь-якого порядку. Продемонструємо розв’язування системи лінійних рівнянь методом Гауса на загальному прикладі.

Розв’яжемо систему лінійних рівнянь:

(1)

Систему лінійних рівнянь (1) можна записати у вигляді розширеної матриці:

(2)

1) Прямий хід: розширену матрицю (2) шляхом послідовного виконання лінійних операцій над її рядками (тобто послідовного виконання операції додавання до одного рядка матриці іншого, помноженого на певне число) приводять до вигляду:

(3)

2) Зворотній хід: від розширеної матриці (3) переходять до відповідної системи рівнянь:

(4)

Останнє рівняння системи (4) дає значення змінної підставляючи це значення в передостаннє рівняння знаходимо змінну продовжуючи цей процес, поступово знаходимо значення всіх невідомих.

Задача 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

a)

Питання для самоперевірки знань, умінь

1. Визначники матриць другого та вищих порядків.

2. Поняття системи n лінійних рівнянь відносно n невідомих.

3.Формули Крамера. Суть методу Крамера розв’язування систем лінійних рівнянь, його недоліки.

1. Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь. В чому полягає його універсальність?

Висновок____________________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 3

Тема. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом

Мета роботи: навчитись розв’язувати системи лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці (матричним методом).

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки;

2. Індивідуальні завдання;

3. Обчислювальні засоби.

Теоретичні відомості про матричний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь

 

Нехай дано систему n лінійних рівнянь з n невідомими

(1)

Запишемо дану систему у вигляді матричної рівності:

(2)

де - квадратна матриця n-го порядку, складену з коефіцієнтів при невідомих (її називають матрицею системи);

матриця розмірності (n×1), складена з невідомих;

матриця розмірності (n×1), складена з вільних членів.

Тобто:

Розв’язати систему (1) означає знайти такі значення невідомих які перетворюють в істинні рівності одночасно всі рівняння системи. Це теж саме, що знайти невідому матрицю , яка перетворює в істинну рівність матричне рівняння (2).

Систему лінійних рівнянь називають не виродженою, якщо матриця системи не вироджена, тобто detA≠0. Невироджена система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок.

Розв’язок невиродженої системи лінійних рівнянь, записаної у вигляді матричного рівняння знаходять за формулою:

де - матриця, обернена до матриці

Задача. Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним способом:

a)