Розв’язок систем диференціальних рівнянь

 

Постановка задачі

 

Розглянемо систему диференціальних рівнянь І-го порядку, розв’язаних відносно похідних:

(3.1)

де – незалежна змінна.

Розв’язком (3.1) називається будь-яка сукупність функцій , яка після підстановки в систему рівнянь (3.1), перетворює цю систему на тотожність.

Загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь І-го порядку має вид:

,

де – довільні постійні.

Частинний розв’язок системи можна отримати із загального при певних значеннях довільних постійних, які можна знайти за наявності додаткових умов. Якщо ці умови задано в одній точці, отримаємо задачу Коші. Якщо для рівняння другого порядку додаткові умови задано в двох точках, отримаємо крайову задачу.

Зауважимо, що диференціальне рівняння -го порядку виду

(3.2)

зводиться до системи диференціальних рівнянь (3.1) заміною:

Тоді рівняння (3.2) зводиться до системи, що є частинним випадком системи (3.1):

(3.3)

а отже, розглянуті методи розв’язку систем рівнянь використовуються і для розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків.

 

Методи розв’язку задачі Коші

 

Метод Ейлера-Коші

 

Запишемо систему диференціальних рівнянь з початковими умовами (задача Коші) в загальному виді:

(3.4)

Початкові умови задамо в виді:

(3.5)

Формула Ейлера-Коші для задачі (3.4)-(3.5) має вид:

(3.6)

де – крок приросту змінної , .

 

Модифікований метод Ейлера

 

Модифікований метод Ейлера розв’язку задачі (3.4)-(3.5) є однокроковим методом другого порядку, який реалізовано формулами:

(3.7)

де

 

Метод Ейлера-Коші з ітераціями

 

Метод Ейлера-Коші з ітераціями належить до неявних однокрокових методів і полягає в обчисленні на кожному кроці початкових значень:

.

Метод реалізовано за допомогою ітераційної формули:

(3.8)

де , , розв’язок уточнюється. Ітерації проводять доти, поки не буде виконана умова

,

де – задана точність.

Зазвичай кількість ітерацій не має перевищувати 3-4, в противному випадку необхідно зменшити крок , наприклад, , і повторити обчислення з початку.

 

Методи Рунге-Кута

 

Запишемо для задачі (3.4)-(3.5) формули методу Рунге-Кута 4 порядку:

де та

 

Багатокрокові явні методи розв’язку

 

Широко розповсюдженим сімейством багатокрокових методів є методи Адамса. Відповідні формули розв’язку задачі (3.4)-(3.5) наведено нижче.

Двокроковий метод:

Трикроковий метод:

Чотирикроковий метод:

П’ятикроковий метод:

Для того, щоб використати ці багатокрокові ( -крокові) методи, необхідно спочатку будь-яким одно кроковим методом обчислити розв’язок на попередніх кроках (в точках ).

 

Крайова задача

 

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння другого порядку:

(3.9)

Крайова задача полягає в пошуку розв’язку (значень функції) рівняння на відрізку , що задовольняє на кінцях відрізка умовам, які задані в частинному виді:

, (3.10)

або в загальному виді:

(3.11)

де – деякі постійні величини.

Числові методи розв’язку крайової задачі можна розділити на дві групи: зведення розв’язку крайової задачі до послідовності розв’язків задач Коші (метод стрільби) та безпосереднє застосування кінцево-різницевого методу.

Розглянемо метод кінцевих різностей, оскільки він дозволяє звести розв’язок крайової задачі для диференціального рівняння к розв’язку системи алгебраїчних рівнянь відносно значень функції, що шукається, на заданій множині точок. Це досягається шляхом заміни похідних, що входять в диференціальне рівняння, їх кінцево-різницевими апроксимаціями.

Розіб’ємо відрізок на рівних частин точками . Точки називають вузлами сітки, – кроком сітки, точки та називають граничними вузлами, а – внутрішніми вузлами.

Розв’язок крайової задачі замінимо обчисленням значень сіткової функції в вузлових точках . Для цього запишемо рівняння (3.9) для внутрішніх вузлів:

. (3.12)

Замінимо похідні, що входять до цих співвідношень їх кінцево-різницевими апроксимаціями:

,

.

Підставляючи ці вирази в (3.12), отримаємо систему різницевих рівнянь:

, (3.13)

що є системою з алгебраїчного рівняння відносно значень сіткової функції . Значення та , що входять до цієї системи, беруть з граничних умов.

Якщо крайові умови задані в загальному виді (3.11), то їх також необхідно представити в різницевому виді шляхом апроксимації похідних та кінцево-різницевими співвідношеннями:

,

.

Тобто граничні умови приймуть вид:

, (3.14)

з яких легко знаходяться значення та .

Отримана система (3.13), доповнена за необхідності рівняннями (3.14), є лінійною або нелінійною в залежності від того, лінійним чи нелінійним є вихідне диференціальне рівняння.

Розглянемо детально лінійну крайову задачу:

,

,

де та – задані функції.

Побудуємо таку різницеву схему:

– для внутрішніх вузлів , :

,

,

в результаті:

, (3.15)

– для кінців відрізку інтегрування : ,

.

Виконавши нескладні перетворення, отримаємо

(3.16)

Об’єднавши (3.15) та (3.16), отримаємо систему лінійних рівнянь:

, (3.17)

розв’язуючи яку, знайдемо значення сіткової функції , .

Отримана система (3.17) лінійних рівнянь є тридіагональною і може бути розв’язана методом прогонки. Для цього визначають коефіцієнти рівнянь виду:

,

де

Позначення прийняті для відповідно, що використовуються в системі (3.17). Потім знаходять елементи «прямого ходу»:

; ;

; ; .

Потім виконується «зворотний хід»:

;

, .

 

 

Завдання

 

Розв’язати диференціальне рівняння ІІ порядку на заданому відрізку для

1) задачі Коші. Номери методів розв’язку вказано в таблиці 3.1, відповідні методи – в таблиці 3.2. Початкові значення для методу Адамса розрахувати за методом Ейлера-Коші;

2) крайової задачі

з початковими або граничними умовами відповідно.

Прийняти, , .

3) Навести блок-схеми алгоритмів використаних методів.

Таблиця 3.1 – Завдання на 3 частину курсової роботи

№	Рівняння	Відрізок	Задача Коші	Мет.	Крайова задача
				м1; м4.
				м1; м5.
				м2; м4.
		[0.2;0.5]		м2; м5.
		[0.6;0.9]		м3; м4.
		[1.1;1.4]		м3; м5.
		[0.4;0.7]		м1; м4.
		[1.2;1.5]		м1; м5.
		[1.0;1.3]		м2; м4.
		[1.3;1.6]		м2; м5.
		[0.3;0.6]		м3; м4.
		[0.4;0.7]		м3; м5.
		[0.8;1.1]		м1; м4.
		[0.5;0.8]		м1; м5.
		[0.7;1.0]		м2; м4.
		[2.0;2.3]		м2; м5.
		[0.6;0.9]		м3; м4.
		[1.7;2.0]		м3; м5.
		[0.8;1.1]		м1; м4.
		[1.8;2.1]		м1; м5.
		[0.9;1.2]		м2; м4.
		[1.3;1.6]		м2; м5.
		[1.0;1.3]		м3; м4.
		[0.8;1.1]		м3; м5.
		[1.1;1.4]		м1; м4.
		[0.2;0.5]		м1; м5.
		[1.5;1.8]		м2; м4.
		[0.6;0.9]		м2; м5.
		[1.6;1.9]		м3; м4.
		[1.2;1.5]		м3; м5.

 

Таблиця 3.2 – Методи розв’язку задачі Коші

Індекс	Метод
м1	Ейлера-Коші модифікований
м2	Ейлера-Коші з ітераціями
м3	Рунге-Кута 4 порядку
м4	двокроковий Адамса
м5	трикроковий Адамса

 

Перелік посилань

 

1. Демидович Б.П, Марон И.А. Основы вычислительной математики. 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1966. – 664 стр.

2. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы инженерных исследований. – Киев: Высшая шк., 1986. – 263 стр.

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование – М.: Высш. шк., 1990. – 544 стр.

4. Копченова Н.В., Марон И.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 512с.

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. – 432 с. –C. 190 – 195.

6. Н.Н. Калиткин. Численные методы. Главная редакция физико-математической литературы "Наука", М., 1978. – C. 138 – 146.

7. Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 288 с. C. 14-20, 26-45.

8. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 336 с.

9. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. – М.: Мир, 1998. – 575 с.

10. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

11. ДСТУ 3008-95. Документація. Звіти у сфері науки і техніки. Структура і правила оформлення.

12. ГОСТ 19.701-90 Единая система программной документации. Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения.

 

ДОДАТОК