Символьний розв’язок рівнянь

У Mathcad можна швидко і точно знайти чисельне значення кореня за допомогою функції root. Але є деякі завдання, для яких можливості Mathcad дозволяють знаходити розв’язок в символьному (аналітичному) вигляді.

Розв’язок рівнянь в символьному вигляді дозволяє знайти точне або наближене кореня рівняння.

Якщо рівняння, яке розв’язується має параметр, то розв'язання в символьному вигляді може виразити шуканий корінь безпосередньо через параметр. Тому замість того, щоб розв’язувати рівняння для кожного нового значення параметра, можна просто замінювати його значення в знайденому символьному розв'язанні.

Якщо потрібно знайти всі комплексні корені полінома із степенем менше або рівним 4, символьне розв'язання дасть їхні точні значення у вигляді вектора в аналітичному або в цифровому вигляді.

Команда Символи (Symbolics) → Змінні (Variable) → Обчислити (Solve) дозволяє розв’язати рівняння щодо деякої змінної і виразити його корені через решту параметрів рівняння. Щоб розв’язати рівняння у символьному вигляді необхідно:

- надрукувати вираз (для введення знаку рівності використовуйте комбінацію клавіш [Ctrl]=).

- виділити змінну, щодо якої потрібно розв’язати рівняння, натиснувши на ній лівою клавішею миші.

- вибрати пункт меню Символи (Symbolics) → Змінні (Variable) → Обчислити (Solve).

Немає необхідності прирівнювати вираз до нуля. Якщо Mathcad не знаходить знаку рівності, він припускає, що потрібно прирівняти вираз до нуля.

Розв’язок системи рівнянь в символьному вигляді|виді|, проілюстровано на прикладі рисунка 27.

Порядок виконання роботи

Важливо! Записуючи коефіцієнти полінома враховувати знак біля нього

1 Для полінома g (x) (таблиця 13) виконати такі дії:

- за допомогою команди Символи (Symbolics) → Коефіцієнти полінома(Polynomial Coefficients) створити вектор V, що містить коефіцієнти полінома;

- розв’язати рівняння g (x) = 0 за допомогою функції polyroots(V);

- розв’язати рівняння символьно, попередньо виділивши мишкою змінну, використовуючи команду Символи (Symbolics) → Змінні (Variable) → Обчислити (Solve);

- розкласти на множники, (попередньо виділивши мишкою множник), використовуючи Символи (Symbolics) → Фактор (Factor).

2Розв’язати систему лінійних рівнянь (таблиця 14) використовуючи функції Find, lsolve, матричним способом, методом Крамера. Для цього створити матрицю А розміром 4´4, записати в неї коефіцієнти системи рівнянь, вектор вільних членів В, тоді розв’язок Х:=А^-1×В. Для методу Крамера додатково обчислити визначники основної матриці А та матриць заміщення почергово стовпців вектором вільних членів . Далі

3 Перетворити нелінійні рівняння системи з таблиці 15 у вигляд f ₁(x) = y та f ₂ (y) = x. Побудувати їхні графіки та визначити за ними початкове наближення для коренів. Розв’язати систему нелінійних рівнянь за допомогою функції Minerr.

4Розв’язати у символьному вигляді системи рівнянь, запропоновані викладачем.

Таблиця 13 – Варіанти завдань до п. 1

№ п/п	g (x)	№ п/п	g (x)
	x ^4- 2 x^3 + x ^2- 12 x + 20		x ^4- 7 x^3 + 7 x ^2- 5 x + 100
	x ^4+ 6 x^3 + x ^2- 4 x - 60		x ^4+ 10 x^3 +36 x ^2+70 x + 75
	x ^4- 14 x ^2- 40 x - 75		x ^4+ 9 x^3 + 31 x ^2+ 59 x + 60
	x ^4- x^3 + x ^2- 11 x + 10		x ^4- 7 x ^2+ 33 x - 45
	x ^4- x^3 - 29 x ^2- 71 x -140	17	x ^4- 3 x^3 - 5 x ^2+ 7 x + 10
	x ^4+ 7 x^3 + 9 x ^2+ 13 x - 30		x ^4+ 13 x^3 - 28 x ^2-17 x -90
	x ^4+ 3 x^3 - 23 x ^2- 55 x - 150		x ^4- 4 x^3 +19 x ^2- 17 x + 175
	x ^4- 6 x^3 + 4 x ^2+ 10 x + 75		x ^4+ 8 x^3 - 11 x ^2+ 5 x - 44
	x ^4+ x^3 - 17 x ^2- 45 x - 100		x ^4- x^3 - 17 x ^2+ 34 x - 50
	x ^4- 5 x^3 + x ^2- 15 x + 50		x ^4+ 5 x^3 - x ^2+ 25 x - 40
	x ^4- 4 x^3 - 2 x ^2- 20 x + 25		x ^4- 9 x^3 + 8 x ^2+ 10 x - 90
	x ^4+ 5 x^3 + 7 x ^2+ 7 x - 20		x ^4- x^3 - 2 x ^2- 9 x - 70

 

Таблиця 14 – Варіанти завдань до п.2

№ п/п	Система лінійних рівнянь	№ п/п	Система лінійних рівнянь

 

Таблиця 15 – Варіанти завдань до п. 3

№ п/п	Система нелінійних рівнянь	№ п/п	Система нелінійних рівнянь

 

10.4 Контрольні запитання

1 У яких випадках необхідно використовувати ітераційні методи? У чому суть методу ітерації, як ще називають цей метод?

2 Що впливає на швидкість збіжності ітераційного процесу?

3 Назвіть функції розв’язку систем лінійних рівнянь?

4 Як змінити точність, з якою функція root шукає корінь?

5 Назвіть функції для розв’язку систем рівнянь в Mathcad| і особливості їх застосування.

6 Дайте порівняльну характеристику функціям Find і Minerr.

7 Як у символьному вигляді розв’язати рівняння або систему рівнянь в Mathcad|?

8 Для ітераційних методів пошук кореня припиняється, якщо отримані значення…

9 Системна змінна TOL відповідає за…

10 Для обчислення кореня нелінійного рівняння, коренів звичайного полінома використовуються функції…

Рекомендована література

1 Ганженко Н. С. Інформатика та обробка геологічних даних. Конспект лекцій. – ІФНТУНГ, 2003 – 157с.

2 Дьяконов В. Mathcad 2001. учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 624 с.

Лабораторна робота №11
Основні процедури обробки даних в пакеті MathCAD

Мета і завдання роботи

Мета: одержати необхідні навички у складанні і реалізації обчислювальних схем обробки даних в пакеті: інтерполяції, апроксимації (регресії), згладжування.

Задачі: складання обчислювальних схем для обробки емпіричних даних, які включатимуть процедури інтерполяції, апроксимації лінійною залежністю даних та згладжування у середовищі пакету MathCad з використанням вбудованих функцій.

Внаслідок виконання роботи студент повинен:

- практично оволодіти основними процедурами обробки даних;

- усвідомити суть методу найменших квадратів, його місце та практичну цінність при обробці та аналізі даних;

- зрозуміти залежність результатів від вибору способу згладжування; усвідомити неформальний характер вибору такого способу.