Лінійні однорідні рівняння другого порядку

Зі сталими коефіцієнтами

 

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння

.

 

Якщо та є сталі числа, то рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Якщо , то рівняння називається однорідним, якщо неоднорідним.

Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння має вигляд:

,

де та лінійно-незалежні частинні розв’язки рівняння, тобто , а довільні сталі.

 

Для знаходження треба розв’язати характеристичне рівняння:

.

Можливі наступні випадки:

 

 

корені характери- стичного рівняння	частинні розв’язки	‒ загальний розв’язок
дійсні різні числа,
дійсні однакові числа
комплексно- спряжені числа, уявна одиниця, дійсні числа.

 

Зразки розв’язування задач

 

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння:

,

,

де корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тобто, загальний розв’язок рівняння має вигляд .

 

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

.

 

 

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має вигляд . Його корені – дійсні, рівні . Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд .

 

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо характеристичне рівняння .

,

.

Загальний розв’язок рівняння .

 

Приклад 4. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має вигляд:

.

Його корені . Тоді, загальний розв’язок . Для того, щоб знайти частинний розв’язок треба визначити та . Це можна зробити, використовуючи початкові умови, але спочатку треба знайти похідну від загального розв’язку: . Дістанемо систему рівнянь:

 

Отже, частинний розв’язок рівняння: .

 

Приклад 5. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння . Його корені . Тоді загальний розв’язок . Знайдемо похідну :

.

Маємо систему рівнянь

Отже, розв’язок задачі Коші матиме вигляд:

.

 

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння .

; .

Загальний розв’язок .

Обчислимо :

.

 

Використовуючи початкові умови, знайдемо та :

 

Отже, частинний розв’язок однорідного рівняння буде

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти загальні та частинні розв’язки однорідних диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння

Другого порядку зі сталими коефіцієнтами із

Спеціальною правою частиною

 

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

 

.

 

Якщо права частина лінійного неоднорідного рівняння є функцією спеціального вигляду, то рівняння можна розв’язати методом невизначених коефіцієнтів, і загальний розв’язок має вигляд:

,

де загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, частинний розв’язок неоднорідного рівняння, який залежить від функції та коренів характеристичного рівняння .

Можливі такі випадки:

 

1. Нехай , де многочлен степеня , тобто

, тоді:

а) якщо , тоді частинний розв’язок обираємо у вигляді , де многочлен ступеню з невідомими коефіцієнтами, тобто, якщо

,

,

,

;

 

б) якщо , тоді ;

 

в) якщо , тоді .

Зауваження 1. Для знаходження невідомих коефіцієнтів многочлена треба підставити функцію та її похідні першого та другого порядку в вихідне рівняння та прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях з обох його сторін. Таким чином, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомі коефіцієнти.

2. Нехай , де многочлени степенів та , тоді існують такі випадки:

а) якщо , тоді , де многочлени ступеню з невідомими коефіцієнтами;

б) якщо , тоді .

Зауваження 2. У цьому випадку для знаходження невідомих коефіцієнтів многочленів та діємо так само, але прирівнюємо коефіцієнти при , внаслідок чого знов дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомі коефіцієнти.

Якщо, , де та функції спеціального вигляду, то частинний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння має вигляд

,

де та частинні розв’язки лінійних неоднорідних рівнянь

та відповідно.

Зразки розв’язування задач

 

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок рівняння має вигляд , де загаль-ний розв’язок відповідного однорідного рівняння . Характеристичне рівняння має корені . Отже .

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння залежить від вигляду правої частини (маємо ).

Тоді . Для визначення невідомих коефіцієнтів та підставимо в початкове рівняння. Щоб це було можливим, знайдемо першу і другу похідні від частинного розв’язку :

Після підстановки в наше рівняння отримаємо

 

.

 

Розділимо рівняння на та приведемо подібні доданки. Маємо:

.

Прирівняємо коефіцієнти при в однакових ступенях:

 

Тобто, .

Отже, загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

.

 

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок цього рівняння складається з двох компонентів . Характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння має вигляд . Його корені: . Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд: .

Враховуючи, що , тобто, , а також, що , дістанемо частинний розв’язок неоднорідного рівняння:

або .

Знаходимо:

 

,

Підставляючи в початкове рівняння, отримаємо:

 

Розділимо обидві частини на та приведемо подібні доданки:

.

Прирівняємо коефіцієнти при в однакових ступенях.

Тоді, .

Дістанемо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

.

 

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому, маємо .

Характеристичне рівняння має однакові корені . Отже, .

, тобто, . Частинний розв’язок даного неоднорідного рівняння буде мати вигляд:

 

або

 

Після підстановки цих виразів в початкове рівняння, дістанемо

, або

 

.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння буде:

,

а загальний: .

 

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо: .

,

Отримаємо: .

Порівняємо коефіцієнти при та в обох частинах останнього рівняння:

Дістанемо систему рівнянь:

Розв’яжемо систему рівнянь за формулами Крамера:

;

;

.

Отже: , а

загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння.

Приклад 5. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо: .

, де . Загальний розв’язок однорідного рівняння .

Частинний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння шукатимемо у вигляді :

,

,

Підставимо та в початкове рівняння та отримаємо:

 

Після низки арифметичних перетворень останнє рівняння набуває вигляду:

 

.

Порівняємо коефіцієнти при та :

Отримаємо систему рівнянь

яку розв’яжемо за формулами Крамера:

Тоді

Отже, маємо .

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння дістанемо у вигляді:

.

 

Приклад 6. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки , тобто , то частинний розв’язок неоднорідного рівняння буде:

,

,

Дістанемо:

 

Звідки, . Отже .

Загальним розв’язком лінійного неоднорідного рівняння буде функція .

 

Приклад 7. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Права частина початкового рівняння складається з двох доданків: , де . Тому частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння теж складається з двох доданків: , де та є частинними розв’язками рівнянь:

та

відповідно.

Аналогічно попередньому маємо:

,

,

.

Отримаємо:

, або

.

 

 

Отже, .

Тоді .

Звідки, . Отже, .

Загальний розв’язок початкового лінійного неоднорідного рівняння дістанемо у вигляді:

.

 

Приклад 8. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому маємо:

Отже, загальний розв’язок однорідного рівняння буде

.

.

,

,

.

Підставимо в початкове рівняння:

, або

 

.

Частинний розв’язок диференціального рівняння має вигляд: , а загальний розв’язок ‒ .

Використаємо початкові умови, для цього знайдемо :

.

Маємо:

Отже, дістанемо розв’язок задачі Коші:

.

 

Приклад 9. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння відповідного однорідного диференціального рівняння має два рівних кореня . Отже, . Оскільки, права частина складається з суми двох різних функцій: , то кожній з них будуть відповідати частинні розв’язки та , а .

,

,

.

Маємо:

Розділимо це рівняння на :

.

 

 

Тобто, .

Знайдемо :

.

Прирівняємо коефіцієнти при та :

Отже: .

Дістанемо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

.

Використаємо початкові умови, щоб знайти та , для цього треба знайти похідну від загального розв’язку:

.

Тоді:

Таким чином, розв’язок задачі Коші має вигляд:

.

 

Приклад 10. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання.

Систему лінійних однорідних диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами розв’яжемо зведенням її до одного диференціального рівняння другого порядку. Для цього перше рівняння системи продиференцюємо по :

.

Замість підставимо праву частину другого рівняння системи:

 

.

З останнього виразу виключимо змінну . Для цього використаємо перше рівняння системи:

.

Отже, маємо:

, або

Тоді,

.

Отже, загальний розв’язок системи

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти загальні частинні розв’язки задач:

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11)