Диференціальні рівняння першого порядку.

 

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняннявигляду , яке, коли його можна розв’язати відносно набуває вигляду або .

Функція , де - довільна стала, називається загальним розв’язком рівняння першого порорядку, якщо при підстановці її в рівняння, вона перетворює його в правильну рівність. Якщо цей розв’язок задає функцію неявно: , то знайдено загальний інтеграл. При довільному одержимо частковий розв’язок (частковий інтеграл).

Задача знаходження розв’язку, який задовільняє початкові умови при , називається задачею Коші для рівняння першого порядку.

Розглянемо деякі класи диференціальних рівнянь, які розв’язуються в квадратурах (розв’язки виражаються через інтеграли від заданих функцій).

Диференціальне рівняння вигляду називається рівнянням з відокремленими змінними. Його загальний інтеграл: .

Диференціальне рівняння вигляду називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

В ньому змінні можна розділити і знайти загальний інтеграл

.

Зауваження. Часто для зручності спрощень записують у вигляді .

Лінійним дифрінянням першого порядку називається рівняння, яке містить шукану функцію , та її похідну в першому степені і не містить їх добутків: .

Підстановкою , за методом Бернулі воно приводиться до інтегрування двох дифрівнянь з відокремлюваними змінними.

Однорідним дифрівнянням першого порядку називається рівняння вигляду , де - однорідні функції одного виміру. Функція називається однорідною виміру , якщо .

Однорідне дифрівняння зводиться до рівняння вигляду .

Підстановкою воно зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

 

Лінійні диференціальні рівняння другого

Порядку з постійними коефіцієнтами.

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння вигляду , де - сталі числа.

Відповідним характеристичним рівнянням називається рівняння:

.

Загальний розв’язок заданого дифрівняння залежить від коренів цього характеристичного рівняння.

1. Якщо корені характеристичного рівняння дійсні та різні, , то загальний розв’язок дифрівняння має вигляд .

2. Якщо корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, тобто , то загальний розв’язок .

3. Якщо корені характеристичного рівняння комплексно спряжені, тобто ,де , то загальний розв’язок .

Неоднорідне лінійне дифрівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд , де - сталі числа.

Загальний розв’язок лінійного дифрівняння () дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння () і довільного часткового розв’язку () даного неоднорідного рівняння, тобто

Частковий розв’язок () підбирається для деяких функцій подібним до неї.

1. Нехай , де многочлен . Тоді частковий розв’язок шукаємо у вигляді

якщо - не корінь характеристичного рівняння;

, якщо - простий корінь характеристичного рівняння;

, якщо - подвійний корінь характеристичного рівняння, де ,( -невідомі сталі коефіцієнти, які знаходяться методом невизначених коефіцієнтів).

2. Нехай , тоді частковий розв’язок

якщо - не корінь характеристичного рівняння;

, якщо - корінь характеристичного рівняння;

Для дифрівняння другого порядку загальний розв’язок містить дві довільні сталі. Задача Коші ставиться так:

Знайти такий розв’язок, який би задовільняє умови , при .

Числові ряди

 

Нехай задана нескінченна послідовність чисел

Вираз називають нескінченним числовим рядом (або просто рядом), числа – членами ряду, – загальним членом ряду.

Частковою сумою числового ряду називають суму перших членів числового ряду, тобто , ,..., .

Сумою числового ряду називають границю його часткової суми при , тобто .

Якщо границя часткової суми ряду є скінченним числом, то ряд називають збіжним і позначають .

Якщо границя часткової суми ряду не існує або дорівнює , то числовий ряд називають розбіжним.

Числовий ряд вигляду називають рядом геометричної прогресії зі знаменником .

При ряд геометричної прогресії збігається і його сума дорівнює . При ряд розбігається.

Числовий ряд вигляду називають гармонічним рядом. Цей ряд розбігається.

Необхідна ознака збіжності числового ряду.

Якщо числовий ряд збігається, то загальний член при , тобто .

Достатні ознаки збіжності числових рядів.

1. Ознака Даламбера.

Нехай усі члени числового ряду додатні і при необмеженому зростанні номера , границя відношення

-го члена до -го дорівнює числу . Тобто .

Якщо , тоді числовий ряд збігається. При , цей ряд розбігається. При потрібно застосовувати іншу ознаку.

2. Ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність заданого ряду: Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома: Тоді:

а) якщо ряд збігається і, починаючи з деякого номера , виконується співвідношення , тоді й ряд також збігається.

б) якщо ряд розбігається і, починаючи з деякого номера , виконується співвідношення , тоді й ряд також розбігається.

3. Інтегральна ознака Коші.

Нехай -неперервна, монотонно спадна і додатна в інтервалі функція, значення якої дорівнюють відповідним додатним членам ряду

Тоді для збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб невласний інтеграл мав скінченну величину.

Якщо члени числового ряду мають різні знаки, то ряд називають знакозмінним.

Ряд, члени якого почергово мають додатний та від’ємний знаки, називають знакопереміжним. Такий ряд можна записати у вигляді:

Знакопереміжний ряд називають збіжним абсолютно, якщо збігається додатний числовий ряд , складений з абсолютних величин цього знакопереміжного ряду.

Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакопереміжного ряду монотонно спадають і границя загального члена дорівнює нулю при , тобто виконується умова , тоді знакопереміжний ряд збігається, при чому його часткова сума обов’язково менша від першого члена ряду.

Якщо знакопереміжний ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин, розбігається, то знакопереміжний ряд називають неабсолютно збіжним (або умовно збіжним).

Степеневі ряди.

Степеневим рядом називають ряд такого вигляду:

або ,

де - дійсні числа, які називають коефіцієнтами степеневого ряду; -деяке постійне число.

Число називають радіусом збіжності степеневого ряду, якщо для ряд збігається, а для - розбігається.

Радіус збіжності знаходимо за формулою: .

Інтервал називають інтервалом збіжності степеневого ряду.

Ряд Тейлора: .

Ряд Маклорена: .