Канонічні рівняння ліній другого порядку.

Рівняння кола з центром і радіусом

Рівняння еліпса: , де і - півосі еліпса, відстань від центра до одного з фокусів, - ексцентриситет еліпса.

Рівняння гіперболи: , де - дійсна, - уявна півосі, - відстань від центра до одного з фокусів, - ексцентриситет, - асимптоти гіперболи.

Рівняння параболи симетричної відносно осі її фокус , директриса:

Рівняння параболи симетричної відносно осі , її фокус директриса:

Вступ в математичний аналіз

Якщо кожному значенні змінної поставлено у відповідність за певним правилом значення то говорять, що задана функція. Її позначають

Множина Х називається областю визначення функції, множина - областю значень функції.

Множина значень яка за певним правилом поставлена у відповідність натуральному ряду чисел називається числовою послідовністю.

Числа називають членами послідовності, при цьому - загальним членом.

Число називається границею послідовності , якщо для всякого як завгодно малого додатнього числа знайдеться такий номер , що для всіх виконується нерівність . Це позначають

Якщо послідовність має скінчену границю, то її називають збіжною.

Важливим прикладом числової послідовності є геометрична прогресія.

Послідовність чисел називається геометричною прогресією, якщо кожний наступний її член дорівнює попередньому помноженому на деяке стале число - знаменник прогресії:

Число називається границею функції в точці , якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу відповідна послідовність значень функції збіжна до Це записують

Основні теореми про границі функцій:

1. Границя сталої дорівнює цій сталій.

2. Границя алгебраїчної суми, добутку, частки двох функцій

дорівнює відповідно алгебраїчній сумі, добутку та частці їх границь при умові, що границя функції в знаменнику не дорівнює 0.

Випадки, коли не можна знайти границі безпосередньо за цими теоремами, це невизначеності: Для розкриття невизначеностей використовують визначні границі:

1.

2. .

В фінансових розрахунках використовують формули нагромадження капіталу за складними відсотками знайдені на основі геометричної прогресії: де - сума вкладу нагромадження через років, - початкова сума вкладу, - коефіцієнт складних відсотків при - щорічному відсотковому приросту.

Якщо відсотки нараховуються разів за рік, то

Якщо зростання за складними відсотками неперервне, то на основі другої визначної границі формула набуде вигляду

Диференціальне числення функцій однієї змінної

Похідною функції у=f(x) в точці x називається границя відношення приросту функції ∆ у до приросту аргументу ∆х в цій точці,

коли ∆х →0

Позначають похідну .

.

Якщо ця границя скінченна, то функція називається диференційованою в т. . Основні правила і формули диференціювання поміщені в таблиці:

ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
y = C	y' = 0	y = x	y' = 1
y = Cu	y' = Cu'	y = u v	y' = u' v'
y = uv	y' = u'v +v'u
	y ΄= cosu u΄		y ΄= - sinu u ΄
y=f(u), u=j(x)		x = j(y) обернена до y=f(x)

 

Диференціал функції обчислюється за формулою:

.

Застосування похідної.

Правило Лопіталя. Для “невизначеностей типу та ” границя відношення функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо вона існує.

Достатні умови зростання та спадання функції. Якщо похідна неперервної на відрізку функції додатна, то функція зростає, якщо похідна – від’ємна, то функція спадна.

Необхідні умови екстремуму функції. Якщо в точці функція має екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними.

Достатні умови екстремуму (перше правило).

Якщо при переході через критичну точку зліва на право похідна змінює знак з “+” на “-”, то в цій точці функція має максимум., а при зміні знака з “-” на “+” – мінімум. Якщо знак не міняється, то екстремуму не має.

Друге правило.

Якщо в критичній точці друга похідна , то в цій точці функція має екстремум: максимум при , мінімум при .

Графік функції опуклий на проміжку , якщо в кожній точці його і вгнутий, якщо .

Точка , в якій і при переході через яку змінює знак є точкою перегину.

В економічних дослідженнях використовують поняття еластичності функції , яке виражається через похідну

.

Повне дослідження функції

Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка.

1. Знаходимо область визначення функції у = f(x).

2. Знаходимо точки перетину кривої у=f(x) з осями координат, відкладаємо їх на рисунку.

3. Визначаємо, чи симетрична крива у = f(x) відносно осей ко­ординат і початку координат (парність і непарність).

4. Досліджуємо функцію на неперервність. Якщо функція маєу точці x ₀ розрив, то визначаємо, якого він роду.

5. Досліджуємо функцію на періодичність.

6. Знаходимо асимптоти кривої, якщо вони існують.

7. Визначаємо інтервали монотонності, максимум і мінімум функції і позначаємо на рисунку точки кривої з максимальною і мінімальною ординатами.

8. Знаходимо точки перегину, інтервали опуклості і увігнутості.

Функції багатьох змінних

Якщо кожній парі чисел , де , поставлено у відповідність за певним правилом значення , то говорять, що задана функція двох змінних, яку позначають .

Змінні і називають аргументами.

Якщо надати приросту , а - приросту, то одержить приріст . Частинний приріст , частинний приріст .

Частинні похідні першого порядку:

, .

Їх знаходять як звичайні похідні, вважаючи при обчисленні змінну сталою, а при обчисленні змінну сталою. Оскільки частинні похідні першого порядку для функції двох змінних є функціями цих змінних, то можна знайти частинні похідні другого порядку: , , .

Необхідні умови екстремуму функції двох змінних

Якщо в точці функція досягає екстремуму, то її частинні похідні перешого порядку в цій точці дорівнюють нулю:

Достатні умови екстремуму функції двох змінних

Нехай в точці виконується умова і існують частинні похідні другого порядку ; .

Визначимо:

Якщо то в точці функція має екстремум; якщо то екстремуму немає.

Якщо і (або і ), то функція досягає мінімуму, якщо і (або і ), то функція досягає максимуму.

Градієнтом функції двох змінних називається вектор

g = .

Для функції градієнт має вид

g =

Невизначений інтеграл.

Первісною функцією до заданої функції називається функція , похідна якої дорівнює , а диференціал :

або .

Множина всіх первісних для даної функції , де - довільна стала, називається невизначеним інтегралом від функції і позначається .

Отже, .

В формулі називається підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом, а символ - знаком невизначеного інтеграла.