Метод варіації довільних сталих.

 

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:

,

де будь-яка функція.

Розв’язок цього рівняння буде мати вигляд:

,

де частинні розв’язки відповідного диференціального однорідного рівняння, які знаходимо за таблицею 1, функції, які є розв’язком системи рівнянь:

 

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Знайдемо розв’язок відповідного однорідного рівняння:

 

Загальний розв’язок початкового рівняння буде мати той же вигляд, що і загальний розв’язок однорідного рівняння, але та не довільні сталі, а деякі функції, які знайдемо із системи рівнянь:

Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера:

,

.

Тоді .

Дістанемо функції та :

,

.

Отже, загальний розв’язок рівняння отримаємо у вигляді:

.

 

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Частинні розв’язки відповідного однорідного рівняння з характеристичним рівнянням мають вигляд .

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння отримаємо у вигляді , де невідомі функції та задовольняють системі алгебраїчних лінійних рівнянь відносно та :

 

Цю систему розв’яжемо за формулами Крамера

,

 

,

.

 

Отже, .

Проінтегруємо останні два рівняння:

.

.

Маємо під знаком інтеграла правильний раціональний дріб, який розкладемо на простіші:

.

 

Звідки, дістанемо:

.

Отже, .

Обчислимо окремо

 

 

.

 

.

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння дістанемо у вигляді

.

 

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння відповідного однорідного диференціального рівняння має корені , тому частинні розв’язки однорідного рівняння .

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді . Для знаходження невідомих функцій та складемо систему:

Проінтегруємо кожне з отриманих рівнянь:

 

Дістанемо загальний розв’язок початкового рівняння:

.

Приклад 4. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Частинні розв’язки відповідного однорідного рівняння мають вигляд . Загальний розв’язок початкового рівняння дістанемо у вигляді , де невідомі функції та задовольняють системі алгебраїчних лінійних рівнянь:

 

або

Звідки,

;

 

 

; .

Знаходимо

, .

Отже, загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд:

,

.

Використаємо початкові умови:

Розв’язок задачі Коші має вигляд:

.

 

Завдання для самостійного розв’язування

 

Знайти загальні розв’язки наступних диференціальних рівнянь.

 

1) . 2) .

3) . 4) .

5) .

Література

1. Вища математика: основні означення, приклади і задачі: У двох книгах/

За редакцією Г.Л.Кулініча та І.П.Васильченка.- К.: Либідь, 1994.

2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика.- К.: Вища школа, 1993.

3. Богомолов М.В. Практичні заняття з математики.- К.: Вища школа, 1979.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.- М.:Наука, 1976.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М.: Наука, 1975.

Зміст

 

ВСТУП…………………………………………………………………….3

1. Подвійний інтеграл, його властивості. Обчислення подвійного

інтеграла в декартових координатах……………………………….….4

2. Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат. Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії……………...13

3. Застосування подвійного інтеграла для деяких задач механіки…...20

4. Обчислення криволінійних інтегралів першого та другого роду.

Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтеграла

від шляху інтегрування…………………………………………………29

5. Звичайні диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння

першого порядку. ….…………………………………………………..38

6. Диференціальні рівняння вищих порядків. Диференціальні

рівняння, що припускають зниження порядку……………………….58

7. Лінійні однорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами…………………………………………………………..72

8. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку

зі сталими коефіцієнтами із спеціальною правою частиною…… …76

9. Метод варіації довільних сталих……………………………………89

Література………………………………………………………………95

 

 

 

Навчальне видання

 

 

Кадильникова Тетяна Михайлівна

Щербина Ірина Володимирівна

Хорошманенко Павло Григорович

 

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина IV

Навчальний посібник

 

 

Тем. план 2010, поз. 252

 

 

Підписано до друку 27.10.2010.Формат 60x84 _1/16 Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид.арк.5,65. Умов.друк арк.5,58. Тираж 100 пр. Замовлення №.

 

 

Національна металургійна академія України

49600, м. Дніпропетровськ – 5, пр. Гагаріна, 4

___________________________________________

Редакційно- видавничий відділ НМетАУ