Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії.

 

У випадку полярної системи координат . Тоді елемент площі в полярних координатах має вигляд:

.

Подвійний інтеграл в полярній системі координат обчислюється за формулою:

(2.1)

де і відповідно найменше й найбільше значення змінної в області і рівняння межі (рис. 2.1).

 

 

 

Рис. 2.1

Об’єм тіла. Для циліндричного тіла твірні якого паралельні осі , яке обмежене знизу областю площини , а зверху – поверхнею , об’єм обчислюється за наступною формулою:

(2.2)

де функція неперервна в області .

Площа поверхні обертання. Якщо поверхня проектується на площину у вигляді області , то площа поверхні обчислюється за формулою:

. (2.3)

Площа плоскої фігури. Якщо , а , то циліндричне тіло, об’єм якого обчислюється за формулою (2.2), перетворюється в прямий циліндр з висотою, яка дорівнює 1. Об’єм такого циліндра дорівнює площі його основи. Отже, площа області буде обчислюватися за формулою:

. (2.4)

Для полярної системи координат .

 

Зразки розв’язування задач

 

Приклад 1. Перейти до полярних координат і обчислити подвійний інтеграл , де область обмежена колом .

Розв’язання.

Покладемо і застосуємо формулу (2.1). Оскільки то

.

Для рівняння кола: . Тоді подвійний інтеграл за формулою (2.1) буде мати вигляд:

 

.

Для інтеграла введемо заміну: . Тоді

.

Шуканий інтеграл дорівнює:

.

 

Приклад 2. Обчислити площу області , обмежену лініями: і .

Розв’язання. Область являє собою фігуру, обмежену знизу параболою , а зверху прямою (рис. 2.2).

 

 

 

 

Рис. 2.2

 

Розв’язуючи сумісно рівняння параболи й прямої, знаходимо точки їх перетину:

 

Згідно (2.4), маємо:

 

(кв.од.).

 

Приклад 3. Обчислити площу фігури, обмежену лініями, застосовуючи полярну систему координат:

.

Розв’язання. Покладемо і запишемо рівняння даної кривої у вигляді: . Отже, .

Побудуємо отриману криву на площині (рис.2.3).

 

 

 

 

 

Рис. 2.3

Так як крива симетрична відносно вісі і розташована в I та IV квадрантах, то площа області, яку утворює крива, можна знаходити як , де площа відповідної області в межах . Отже, маємо:

 

.

В останньому інтегралі введемо заміну: . Отже, останній інтеграл дорівнює нулю. Тоді

(кв.од.).

 

Приклад 4. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями ; .

Розв’язання. Задане тіло обмежено зверху частиною параболоїда обертання , а знизу – частиною площини , вміщеною між прямою та осями координат і (рис. 2.4).

 

 

 

 

Рис. 2.4

 

За формулою (2.2) дістанемо:

.

Розставляючи межі інтегрування в подвійному інтегралі, отримаємо:

 

(куб.од.).

 

Приклад 5. Обчислити площу бокової поверхні, обмеженої конусом та площиною .

Розв’язання. Тіло обертання, площу бокової поверхні якого треба знайти, зображено на рис. 2.5.

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.5

 

Знайдемо частинні похідні функції :

.

Підставивши і у формулу (2.4), одержуємо:

.

В останньому інтегралі перейдемо до полярної системи координат: .

Тоді за формулою (2.1) маємо:

 

(кв. од.).

 

 

Завдання для самостійної роботи

 

I. Перейти до полярних координат і обчислити подвійний інтеграл:

а)

б)

 

ΙΙ. Обчислити площу D, обмежену лініями:

а)

б)

в)

 

ІІІ. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями .

 

IV. Обчислити площу бокової поверхні, обмеженої верхньою половиною

сфери .

 

Застосування подвійного інтеграла для

Деяких задач механіки

 

Статичним моментом матеріальної точки відносно будь-якої осі називається добуток маси цієї точки на відстань її від цієї осі. Для точки з масою статичні моменти і відносно осей і обчислюються відповідно за формулами:

.

Статичним моментом системи матеріальних точок з масами називається сума статичних моментів усіх точок. Отже,

. (3.1)

Центром мас системи матеріальних точок називають таку точку, в якій, якщо зосередити масу системи , статичний момент відносно будь-якої осі буде дорівнювати відповідному статичному моменту усієї системи. Якщо центр мас знаходиться у точці , то

; ,

звідки

; .

Розглянемо на площині матеріальну пластинку, яка має форму замкненої області , в кожній точці якої густина визначається функцією , де неперервна функція в області . Якщо пластинка однорідна, то будемо вважати .

Розіб’ємо область довільним чином на часткових областей з площами . У кожній з таких областей довільно оберемо точки (рис. 3.1). Тоді маса пластинки буде обчислюватися за формулою:

. (3.3)

 

 

Рис. 3.1

 

Якщо перейти до границі за умови, що кожна з часткових областей стягується у точку, то отримаємо точний вираз для маси пластинки:

 

(3.3*)

Для декартової системи координат елемент площі дорівнює .

Згідно з формулами (3.1) і (3.3), одержимо формули для обчислення статичних моментів неоднорідної пластини:

(3.4)

Координати центра мас пластинки обчислюється за формулами (3.2).

 

Момент інерції пластинки

 

Осьовим моментом інерції матеріальної точки відносно будь-якої осі називається добуток маси цієї точки на квадрат її відстані від цієї

осі. Для точки з масою осьові моменти інерції обчислюються за формулами:

.

В декартовій системі координат формули для обчислення моментів інерції неоднорідної пластинки мають вигляд:

(3.5)

Досить часто в механіці розглядається момент інерції матеріальної точки відносно даної точки – полюса. Цей момент інерції називається полярним і обчислюється за формулою:

тобто . (3.6)

Відцентровим моментом інерції матеріальної точки відносно двох осей називається добуток маси точки на її відстані від цих осей. Якщо осями є координатні осі, то відцентровий момент інерції точки обчислюється за формулою:

. (3.7)

Для неоднорідної пластинки формули (3.6) і (3.7) будуть мати вигляд:

(3.8)

Якщо вісь проходить через центр мас пластинки, то вона називається центральною. Якщо відцентровий момент інерції дорівнює нулю, то відповідні вісі називаються головними вісями інерції. Головні вісі, що проходять через центр мас, називаються головними центральними вісями інерції.

Якщо пластинка являє собою криволінійний сектор, обмежений прямими й кривою , то після переходу до полярної системи координат маємо:

(3.9)

Якщо пластинка симетрична відносно деякої осі, то центр має пластинки лежить на цій осі.

 

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Знайти масу однорідної пластини, обмеженої лініями: .

Розв’язання. Область , яку займає пластина в площині , зображена на рис. 3.2.

 

Рис. 3.2

 

Точка перетинання кривих і має абсцису . За формулою (3.3*) для маємо:

.

 

Приклад 2. Пластина обмежена параболою та прямою, яка проходить через фокус параболи перпендикулярно до її осі. Знайти масу пластини, якщо в кожній її точці густина обернено пропорційна відстані точки від директриси параболи.

Розв’язання. За умовами задачі густину можна виразити таким чином:

.

Дана пластина симетрична відносно осі (рис. 3.3), тому можна знайти масу половини пластини

 

 

 

Рис. 3.3

За формулою (3.3*) маємо:

. (3.10)

Для останнього інтеграла введемо заміну: . Тоді співвідношення (3.10) можна записати таким чином:

.

 

 

Тоді маса всієї пластини дорівнює .

 

Приклад 3. Знайти координати центра мас однорідної пластини, обмеженої кривими .

Розв’язання. Параболи перетинаються у точках і (рис. 3.4).

 

Рис. 3.4

 

Оскільки пластина однорідна, то , і маса пластини знаходиться за формулою (3.3*):

 

.

Статичні моменти знаходяться за формулами (3.4):

 

;

 

.

Отже, за формулою (3.2), координати центра мас дорівнюють:

.

 

Приклад 4. Знайти моменти інерції відносно координатних осей, полярний і відцентровий моменти інерції однорідної пластини, обмеженої лініями .

Розв’язання. Парабола і пряма перетинаються у точках з абсцисами і (рис. 3.5).

 

Рис. 3.5

 

Оскільки пластина однорідна, то будемо вважати . За формулами (3.5) маємо:

 

 

 

;

.

Для обчислення полярного і відцентрового моментів інерції використовуємо формули (3.8). Отже

; .

 

Приклад 5. Дана однорідна пластина, обмежена лініями . Знайти координати центра мас пластини, її моменти інерції відносно координатних осей, полярний та відцентровий моменти інерції.

Розв’язання. Оскільки пластина симетрична відносно прямої (рис. 3.6), то її центр мас знаходиться на цій прямій, а звідки випливає, що .

 

Рис. 3.6

Якщо пластина однорідна, то будемо вважати , і маса пластини

дорівнює її площі .

Зважаючи на форму і розташування пластини, обчислення будемо здійснювати у полярній системі координат, використовуючи формули (3.9):

Тоді .

Осьові моменти інерції пластини відносно та , згідно (3.9), дорівнюють:

.

Полярний момент інерції пластини, згідно (3.6), дорівнює .

Відцентровий момент інерції пластини за формулами (3.9) дорівнює:

.

 

 

Завдання для самостійної роботи

 

1. Знайти масу однорідної пластини, обмеженої лініями і .

2. Знайти координати центра мас пластинки, обмеженої параболою та віссю .

3. Обчислити момент інерції прямокутника зі сторонами 2 і 4 відносно

точки перетину його діагоналей.

4. Знайти моменти інерції відносно вісі однорідної пластини, обмеже-

ної лініями .

5. Обчислити відцентровий момент інерції однорідної пластини, обмеже-

ної лініями .

6. Знайти момент інерції однорідної еліптичної пластини з півосями і

відносно осі .