Звичайні диференціальні рівняння. Диференціальне рівняння першого порядку.

 

Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію та її похідні (або диференціали):

, або

 

.

Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідної (диференціала) цього рівняння.

Розв’язком диференціального рівняння називається функція , яка при підстановці у це рівняння перетворює його на тотожність.

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

 

, (5.1)

де незалежна змінна, шукана функція, похідна шуканої функції.

Якщо рівняння можна розв’язати відносно похідної, то його записують у вигляді

 

 

.

Розв’язком диференціального рівняння (5.1) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (5.1) перетворює його на тотожність на .

Функція , де довільна стала, називається загальним розв’язком рівняння (5.1) в області , якщо вона задовольняє дві умови:

1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову:

.

Частинним розв’язком рівняння (5.1) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні .

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто , то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (5.1).

Види диференціальних рівнянь першого порядку:

1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

2. Однорідні диференціальні рівняння.

3. Лінійні диференціальні рівняння.

4. Диференціальні рівняння Бернуллі.

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними мають вигляд:

,

(5.2)

де і задані і неперервні на деякому інтервалі функції. Вважаючи, що , дістанемо

або , . (5.3)

Рівняння (5.3) називається рівнянням з відокремленими змінними.

Інтегруючи обидві частини останнього рівняння отримаємо загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремлюваними змінними:

.

Диференціальне рівняння (5.2) є окремим випадком рівняння виду:

 

(5.4)

Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на добуток , .

Функція називається однорідною функцією го виміру відносно змінних та , якщо для довільного виконується тотожність:

 

.

Диференціальне рівняння

(5.5)

називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру, тобто, .

Підстановкою , де невідома функція, рівняння (5.5) зводиться до рівняння з відокремленими змінними:

 

.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (5.6)

де та задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Розв’язок рівняння (5.6) знаходимо у вигляді

, (5.7)

де та невідомі функції, причому одна з них функція довільна (але не дорівнює тотожно нулю). Після підстановки (5.7) в рівняння (5.6) рівняння (5.6) перетворюється на систему 2-х рівнянь з відокремлюваними змінними.

 

 

Рівняння Бернуллі має вигляд

, (5.8)

де .

При рівняння (5.8) буде лінійним, при рівнянням з відокремлюваними змінними. Метод розв’язання рівняння Бернуллі такий саме як і для лінійного рівняння, тобто розв’язок його знаходимо у вигляді .

 

Зразки розв’язування задач

 

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Це рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Для того, щоб відокремити змінні, поділимо обидві частини рівняння на , а потім проінтегруємо його:

,

 

,

 

.

Для того, щоб обчислити інтеграл, що знаходиться у правій частині, використаємо заміну змінної в невизначеному інтегралі:

,

 

Маємо:

, або .

Повертаючись до старої змінної, дістанемо:

, загальний розв’язок рівняння.

 

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

.

Розв’язання.

Вважаючи, що , маємо:

.

Помножимо обидві частини на , а потім відокремимо змінні. Для цього рівняння розділимо на :

.

Після інтегрування отримаємо:

,

,

загальний розв’язок.

Приклад 3. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Для того, щоб відокремити змінні, треба спочатку винести за дужки співмножники в кожній з частин рівняння, тобто та з лівої і правої частин рівняння відповідно, а потім розділити рівняння на і проінтегрувати

 

,

,

,

загальний розв’язок.

Підставимо початкові умови в загальний розв’язок та отримаємо частинний розв’язок рівняння

,

частинний розв’язок.

 

Приклад 4. Знайти частинний розв’язок рівняння

.

Розв’язання.

Для відокремлювання змінних у цьому рівнянні розділимо його на . Маємо:

.

Проінтегруємо обидві частини рівняння та для обчислення інтегралів зробимо відповідні заміни змінних:

,

 

,

,

, або ,

або .

загальний розв’язок.

Використаємо початкові умови і отримаємо частинний розв’язок рівняння:

 

Приклад 5. Записати рівняння кривої, яка проходить через точку , кутовий коефіцієнт дотичної до якої у кожній точці дорівнює .

Розв’язання.

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у кожній точці є . Маємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

.

Вважаємо, що , та відокремлюючи змінні отримаємо:

,

,

 

,

загальний розв’язок рівняння.

Підставимо координати точки, через яку проходить шукана крива, в отриманий розв’язок:

.

Тоді є рівнянням цієї кривої.

 

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Доведемо, що це рівняння є однорідним. Нехай , тоді

,

, тобто рівняння однорідне.

Для того, щоб перетворити його на рівняння з відокремлюваними змінними, зробимо підстановку: . Отримаємо:

, або ,

.

Відокремлюючи змінні, маємо

.

 

 

Після інтегрування отримаємо загальний інтеграл даного диференціального рівняння:

,

.

Приклад 7. Знайти загальний розв’язок:

.

Розв’язання.

Маємо:

.

Функції та є однорідними функціями другого виміру:

;

,

Тобто початкове рівняння є однорідним.

Зробимо підстановку , та зведемо це рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними:

,

,

, або

.

Відокремимо змінні в останньому рівнянні:

;

;

;

, або

загальний інтеграл даного рівняння;

,

,

,

загальний розв’язок рівняння.

 

Приклад 8. Розв’язати задачу Коші

.

Розв’язання.

Це рівняння є однорідним (перевірити самостійно), тому після підстановки отримаємо рівняння з відокремлюваними змінними:

,

, або ,

,

,

.

Відокремимо змінні і проінтегруємо обидві частини рівняння:

,

або

, ,

загальний інтеграл.

Використаємо початкові умови:

.

Тоді , або , або розв’язок задачі Коші.

 

Приклад 9. Знайти частинний розв’язок рівняння:

при .

Розв’язання.

Маємо:

.

Це однорідне рівняння. Зробимо підстановку та аналогічно попереднім прикладам розв’яжемо отримане рівняння:

,

,

.

 

Для обчислення інтеграла, що знаходиться у лівій частині, використаємо заміну змінної . Маємо:

.

Тоді, загальний інтеграл рівняння має вигляд . Знайдемо :

 

.

частинний розв’язок рівняння.

 

Приклад 10. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Це рівняння є лінійним, і його розв’язок будемо шукати у вигляді . Тоді

Маємо:

, .

Будемо вважати, що вираз в дужках у лівій частині рівняння дорівнює нулю. Тоді отримаємо систему диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними:

Знайдемо, спочатку, розв’язок першого рівняння. Для цього відокремимо змінні та проінтегруємо рівняння:

.

Підставимо знайдений розв’язок в друге рівняння системи:

.

Тоді, шуканий розв’язок лінійного рівняння матиме вигляд:

.

 

 

Приклад 11. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Розв’язок цього лінійного рівняння знаходимо у вигляді . Тоді . Після підстановки цих виразів в лінійне рівняння і розв’язування його аналогічно попередньому дістанемо:

,

.

І.

.

ІІ.

.

Для останнього інтеграла використаємо підстановку:

.

Дістанемо: .

Тоді загальний розв’язок лінійного рівняння буде мати вигляд:

.

 

Приклад 12. Розв’язати рівняння:

.

 

 

Розв’язання.

Розділимо рівняння на , та розв’яжемо його аналогічно попередньому: ; ;

, ,

І. .

ІІ. .

Отже, загальний розв’язок.

 

Приклад 13. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Розділимо обидві частини рівняння на . Дістанемо:

.

Тоді ,

 

,

.

 

І.

;

ІІ.

.

Зробимо заміну змінної в інтегралі, що знаходиться праворуч.

.

Для останнього інтеграла використаємо метод інтегрування частинами:

.

Отже, повертаючись до старої змінної, отримаємо:

.

Тоді, загальний розв’язок лінійного рівняння має вигляд:

, або

.

Підставимо в цей вираз початкові умови: .

Отже частинний розв’язок лінійного рівняння.

 

Приклад 14. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо рівняння Бернуллі, класичний вигляд якого буде:

 

 

.

Метод розв’язання – аналогічний до метода розв’язання лінійних рівнянь. Тобто, вважаючи, що , , дістанемо:

, .

Нехай, , тоді або . Таким чином, одержимо систему рівнянь з відокремлюваними змінними:

І.

.

ІІ. .

Для останнього інтеграла використаємо заміну змінної . Дістанемо:

.

Загальний розв’язок рівняння Бернуллі матиме вигляд:

, або .

 

Приклад 15. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Перепишемо це рівняння Бернуллі у класичному вигляді:

 

.

Загальний розв’язок рівняння Бернуллі буде

.

Після підстановки цих виразів в початкове рівняння маємо:

,

.

І. .

ІІ.

.

Отже, загальний розв’язок рівняння: .

 

Приклад 16. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок рівняння Бернуллі будемо шукати у вигляді: . Тоді

, ,

 

.

 

або

Тоді:

І. .

 

.

 

ІІ.

.

Отже загальний розв’язок рівняння Бернуллі має вигляд:

.

Використовуючи початкові умови знайдемо сталу :

.

Маємо частинний розв’язок рівняння Бернуллі:

.

 

Приклад 17. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

 

Аналогічно попередньому прикладу загальний розв’язок задачі шукаємо у вигляді . Маємо:

 

І.

.

ІІ.

.

Тоді, загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

, або .

Для визначення частинного розв’язку знаходимо , підставляючи початкові умови в загальний розв’язок:

.

Тому, частинний розв’язок має вигляд:

.

Завдання для самостійної роботи

І. З’ясувати чи будуть функції розв’язком відповідного рівняння:

а) ;

б) ;

в) .

 

ІІ. Знайти загальні інтеграли рівнянь:

 

1) ; 5) ;

2) ; 6) ;

3) ; 7) ;

4) ; 8) .

 

ІІІ. Знайти частинні розв’язки диференціальних рівнянь:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

 

8) ;

IV. Записати рівняння кривої, яка проходить через точку , кутовий коефіцієнт дотичної до якої дорівнює .

1) ;

2) ;

3) .