Рівняння, що зводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Рівняння, що зводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.



Теорема Коші

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Рівняння (2) має розв’язок за таких умов:

Теорема Коші(про існування і єдність розвязку)

Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області G площини і існує така точка з координатами , тоді існує єдиний розв’язок рівняння (2), який задовольняє умову при , тобто .

Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку рівняння (2).

Геометрична теорема Коші стверджує, що через кожну точку проходить єдина інтегральна крива. Якщо зафіксувати і змінювати не виходячи при цьому з області G, то діставатимемо різні інтегральні криві.

Отже, ми побачили, що рівняння (2) має безліч розв’язків. Знаходження розв’язку рівняння , що проходить через задану точку з координатами називається розв’язком задачі Коші.

у

 

 
 


 

 

х

Рівняння, що зводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.

Розглянемо рівняння виду , де - довільні сталі.

Зробимо заміну і знайдемо похідну .

Звідси потрібно виділити .

Першу частину ділимо на :

і підставимо отримане рівняння в початкове:

.Звідси потрібно виділити

Із даного рівняння ми можемо знайти інтеграли, тобто , С – певна константа Загальний інтеграл матиме вигляд

 

Однорідні диференціальні рівняння. Загальні поняття.

Функція називається однорідною функцією n – го виміру відносно змінних у та х, якщо для довільного числа виконується тотожність .

Наприклад:

Дана функція є однорідною функцією другого виміру, тому що:

Дана функція є однорідною функцією нульового виміру, тому що:

Диференціальне рівняння (2) називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру. Очевидно рівняння:

Буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції будуть однорідними функціями одного і того самого виміру.

Нехай рівняння має вигляд:

Нехай дані функції однорідні ступеня k , тобто:

Робимо заміну тоді .

Тепер підставляємо все це у наше рівняння:

Або це те саме, що

Скоротивши на і розкривши дужки, отримаємо

Згрупувавши одержане рівняння зі змінними, що розділяються:

Взявши інтеграли та замінивши отримаємо загальний інтеграл:

 

 

Рівняння, що зводяться до однорідних

Нехай маємо рівняння виду

Розглянемо два випадки:

1) , ,

Тоді система алгебраїчних рівнянь

,

Має єдиний розв’язок (х00).

Проведемо заміну

х=х10

у=у10, та отримаємо

.

Оскільки (х00) є розв’язком системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння матиме вигляд:

І є однорідним нульового степеня.

Отже, робимо заміну у1=ux1 dy1=udx1+x1du

Ділимо на dx1

Домножимо на dx1, отримаємо

Об’єднуємо dx з x, du з u, отримаємо

Шукаємо інтеграл

 

Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд:

2) , тобто коефіцієнти лінійно залежні і

Робимо заміну

dz=a2 dx1+b2dy

Підставимо диференціальне рівняння (1) і одержимо

, а це те саме , що

Звідси,

Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд:

 

 

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння

y’+p(x)⋅y=q(x),

в якому невідома функція y і її похідна y′ входять до рівняння у першому

степеню і не множаться між собою, p(x) і q(x) – неперервні на деякому проміжку функції, називається лінійним диференціальним

рівнянням першого порядку.

Розв'язокy(x) цього рівняння шукають у вигляді добутку двох невідомих

функцій u(x) і v(x), тобто

y=uv.

Тоді похідна функції приймає вигляд

y′ =uv+vu.

Значення y(x) і y′ підставляють у рівняння y’+p(x)⋅y=q(x) і отримують вираз:

uv + uv′+p(x)uv=q(x)

або uv+u[v′+p(x)v]=q(x).

Функцію v визначають із умови, що вираз в дужках дорівнює нулю, тобто розв'язують рівняння, яке буде завжди з відокремлюваними змінними:

Потім значення v підставляють у рівняння uv = q(x) і з отриманого диференціального рівняння теж з відокремлюваними змінними знаходять загальний розв'язок u=u(x,C). Значення v і u підставляють у рівність y=uv і визначають загаль-

ний розв'язок лінійного диференціального рівняння.

 

Рівняння Бернуллі

Рівняння виду , де називається рівнянням Бернуллі.

Розділимо рівняння на уm, то одержимо

Зробимо заміну

 

Підставимо заміну в рівняння

 

 

Рівняння Рікатті

Рівняння виду називають рівнянням Рікатті.

В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується, відомо лише деякі частинні випадки рівняння рікатті, що інтегруються в квадратурах, розглянемо один із даних випадків.

Нехай відомий один частинний розвязок , робимо заміну

Оскільки - частинний розв’язок, то

Розкривши дужки і використовуючи вказану тотожність, одержимо

Перепишемо це рівняння наступним чином:

Отже ми отримали рівняння Бернуллі.

Інтегруючий множник

В деяких випадках рівняння виду не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння , то рівняння буде рівнянням в повних диференціалах та достатньо умов цього є рівність; необхідно і достатньо

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції у(х) одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому шукати функцію відома функція.

В цьому випадку одержимо після підстановки в рівняння одержимо

Проінтегрувавши ліву і праву частину отримаємо

Рівняння Лагранжа

Рівнянням Лагранджа називають рівняння виду ,

, тоді рівняння матиме вигляд . Продефернціюємо дане рівняння . Замінивши dy=pdx, отримаємо . Звівши ці рівняння, отримаємо . Отже, ми отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння:

Його розв’язком є рівняння

Остаточним розв’язком рівняння Лагранджа в параметричній формі записують у вигляді

 

Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах, виду: F(у(п-1), у(п))=0

Рівняння виду F(у(п-1), у(п))=0

 

 

Рівняння Клеро

Частинним випадком рівняння Лагранджа , що відповідає є рівняння Клеро . Поклавши , отримаємо

Продиференціювавши дане рівняння отримаємо , оскільки , підставляємо в рівняння, отримаємо , отримаємо .

Можливі два випадки

1) 2)

Загальним розв’язком рівняння Клеро буде сімя прямих і цю сімю огинає особлива крива та .

Теорема Коші

Якщо функція і її частинні похідні по аргументу не перервні в деякій відкритій області G, яка входить в таку область , то для всякої точки існує єдиний розв’язок у=у(х) рівняння , який задовольняє початкові умови рівняння (3).

Приймаємо теорему без доведень.

 

Теорема Коші

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Рівняння (2) має розв’язок за таких умов:

Теорема Коші(про існування і єдність розвязку)

Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області G площини і існує така точка з координатами , тоді існує єдиний розв’язок рівняння (2), який задовольняє умову при , тобто .

Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку рівняння (2).

Геометрична теорема Коші стверджує, що через кожну точку проходить єдина інтегральна крива. Якщо зафіксувати і змінювати не виходячи при цьому з області G, то діставатимемо різні інтегральні криві.

Отже, ми побачили, що рівняння (2) має безліч розв’язків. Знаходження розв’язку рівняння , що проходить через задану точку з координатами називається розв’язком задачі Коші.

у

 

 
 


 

 

х

Рівняння, що зводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.

Розглянемо рівняння виду , де - довільні сталі.

Зробимо заміну і знайдемо похідну .

Звідси потрібно виділити .

Першу частину ділимо на :

і підставимо отримане рівняння в початкове:

.Звідси потрібно виділити

Із даного рівняння ми можемо знайти інтеграли, тобто , С – певна константа Загальний інтеграл матиме вигляд

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.99.243 (0.025 с.)