Однорідні диференціальні рівняння. Загальні поняття.

Функція називається однорідною функцією n – го виміру відносно змінних у та х, якщо для довільного числа виконується тотожність .

Наприклад:

Дана функція є однорідною функцією другого виміру, тому що:

Дана функція є однорідною функцією нульового виміру, тому що:

Диференціальне рівняння (2) називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру. Очевидно рівняння:

Буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції будуть однорідними функціями одного і того самого виміру.

Нехай рівняння має вигляд:

Нехай дані функції однорідні ступеня k, тобто:

Робимо заміну тоді .

Тепер підставляємо все це у наше рівняння:

Або це те саме, що

Скоротивши на і розкривши дужки, отримаємо

Згрупувавши одержане рівняння зі змінними, що розділяються:

Взявши інтеграли та замінивши отримаємо загальний інтеграл:

 

 

Рівняння, що зводяться до однорідних

Нехай маємо рівняння виду

Розглянемо два випадки:

1) , ,

Тоді система алгебраїчних рівнянь

,

Має єдиний розв’язок (х₀,у₀).

Проведемо заміну

х=х₁+х₀

у=у₁+у₀, та отримаємо

.

Оскільки (х₀,у₀) є розв’язком системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння матиме вигляд:

І є однорідним нульового степеня.

Отже, робимо заміну у₁=ux₁ dy₁=udx₁+x₁du

Ділимо на dx₁

Домножимо на dx_1, отримаємо

Об’єднуємо dx з x, du з u, отримаємо

Шукаємо інтеграл

 

Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд:

2) , тобто коефіцієнти лінійно залежні і

Робимо заміну

dz=a₂ dx₁+b₂dy

Підставимо диференціальне рівняння (1) і одержимо

, а це те саме, що

Звідси,

Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд:

 

 

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння

y ’+ p (x)⋅ y = q (x),

в якому невідома функція y і її похідна y ′ входять до рівняння у першому

степеню і не множаться між собою, p (x) і q (x) – неперервні на деякому проміжку функції, називається лінійним диференціальним

рівнянням першого порядку.

Розв'язок y (x) цього рівняння шукають у вигляді добутку двох невідомих

функцій u (x) і v (x), тобто

y = u ⋅ v.

Тоді похідна функції приймає вигляд

y ′ = u ′ v + v ′ u.

Значення y (x) і y ′ підставляють у рівняння y ’+ p (x)⋅ y = q (x) і отримують вираз:

u ′ v + uv ′+ p (x) uv = q (x)

або u ′ v + u [ v ′+ p (x) v ]= q (x).

Функцію v визначають із умови, що вираз в дужках дорівнює нулю, тобто розв'язують рівняння, яке буде завжди з відокремлюваними змінними:

Потім значення v підставляють у рівняння u ′ v = q (x) і з отриманого диференціального рівняння теж з відокремлюваними змінними знаходять загальний розв'язок u = u (x, C). Значення v і u підставляють у рівність y = u ⋅ v і визначають загаль-

ний розв'язок лінійного диференціального рівняння.

 

Рівняння Бернуллі

Рівняння виду , де називається рівнянням Бернуллі.

Розділимо рівняння на у^m, то одержимо

Зробимо заміну

 

Підставимо заміну в рівняння

 

 

Рівняння Рікатті

Рівняння виду називають рівнянням Рікатті.

В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується, відомо лише деякі частинні випадки рівняння рікатті, що інтегруються в квадратурах, розглянемо один із даних випадків.

Нехай відомий один частинний розвязок , робимо заміну

Оскільки - частинний розв’язок, то

Розкривши дужки і використовуючи вказану тотожність, одержимо

Перепишемо це рівняння наступним чином:

Отже ми отримали рівняння Бернуллі.

Рівняння в повних диференціалах

Рівняння виду називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції U(x,y), тобто . В цьому випадку загальний інтеграл рівняння 1 матиме вигляд U(x,y)=С, С – довільна стала. Для того, щоб рівняння 1 було рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо щоб .

Розглянемо, яким чином відбудеться інтегрування рівнянь в повних диференціалах, якщо для рівняння (1) виконується умова (2), то неві дома функція U(x,y) задовольняє рішення .

Інтегруючи рівність (3) по х визначимо функцію U(x,y) з точністю до довільної диф. функція , тобто . Диференціюючи рівність (5) по у і враховуючи рівність (4), отримаємо рівняння для знаходження функції : .

 

Інтегруючий множник

В деяких випадках рівняння виду не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння , то рівняння буде рівнянням в повних диференціалах та достатньо умов цього є рівність; необхідно і достатньо

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції у(х) одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому шукати функцію відома функція.

В цьому випадку одержимо після підстановки в рівняння одержимо

Проінтегрувавши ліву і праву частину отримаємо