![]()
Заглавная страница
Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Однорідні диференціальні рівняння. Загальні поняття. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Функція Наприклад: Дана функція є однорідною функцією другого виміру, тому що: Дана функція є однорідною функцією нульового виміру, тому що: Диференціальне рівняння Буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції Нехай рівняння має вигляд: Нехай дані функції Робимо заміну Тепер підставляємо все це у наше рівняння: Або це те саме, що Скоротивши на Згрупувавши одержане рівняння зі змінними, що розділяються:
Взявши інтеграли та замінивши
Рівняння, що зводяться до однорідних Нехай маємо рівняння виду Розглянемо два випадки: 1) Тоді система алгебраїчних рівнянь
Має єдиний розв’язок (х0,у0). Проведемо заміну х=х1+х0 у=у1+у0, та отримаємо
Оскільки (х0,у0) є розв’язком системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння матиме вигляд: І є однорідним нульового степеня. Отже, робимо заміну у1=ux1 dy1=udx1+x1du Ділимо на dx1 Домножимо на dx1, отримаємо Об’єднуємо dx з x, du з u, отримаємо Шукаємо інтеграл
Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд: 2) Робимо заміну dz=a2 dx1+b2dy Підставимо диференціальне рівняння (1) і одержимо
Звідси, Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд:
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Рівняння y’+p(x)⋅y=q(x), в якому невідома функція y і її похідна y′ входять до рівняння у першому степеню і не множаться між собою, p(x) і q(x) – неперервні на деякому проміжку функції, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Розв'язокy(x) цього рівняння шукають у вигляді добутку двох невідомих функцій u(x) і v(x), тобто y=u⋅v. Тоді похідна функції приймає вигляд y′ =u′v+v′u. Значення y(x) і y′ підставляють у рівняння y’+p(x)⋅y=q(x) і отримують вираз: u′v + uv′+p(x)uv=q(x) або u′v+u[v′+p(x)v]=q(x). Функцію v визначають із умови, що вираз в дужках дорівнює нулю, тобто розв'язують рівняння, яке буде завжди з відокремлюваними змінними: Потім значення v підставляють у рівняння u′v = q(x) і з отриманого диференціального рівняння теж з відокремлюваними змінними знаходять загальний розв'язок u=u(x,C). Значення v і u підставляють у рівність y=u⋅v і визначають загаль- ний розв'язок лінійного диференціального рівняння.
Рівняння Бернуллі Рівняння виду Розділимо рівняння на уm, то одержимо
Зробимо заміну
Підставимо заміну в рівняння
Рівняння Рікатті Рівняння виду В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується, відомо лише деякі частинні випадки рівняння рікатті, що інтегруються в квадратурах, розглянемо один із даних випадків. Нехай відомий один частинний розвязок
Розкривши дужки і використовуючи вказану тотожність, одержимо Перепишемо це рівняння наступним чином:
Отже ми отримали рівняння Бернуллі. Рівняння в повних диференціалах Рівняння виду Розглянемо, яким чином відбудеться інтегрування рівнянь в повних диференціалах, якщо для рівняння (1) виконується умова (2), то неві дома функція U(x,y) задовольняє рішення Інтегруючи рівність (3) по х визначимо функцію U(x,y) з точністю до довільної диф. функція
Інтегруючий множник В деяких випадках рівняння виду Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції у(х) одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції В цьому випадку одержимо Проінтегрувавши ліву і праву частину отримаємо |
||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 259; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.140.84 (0.022 с.) |