Диференціальні рівняння вищих порядків. Диференціальні рівняння, що припускають зниження порядку

 

Диференціальним рівнянням -го порядку називається рівняння вигляду . Розв’язком такого рівняння називається будь-яка диференційована n разів функція , яка перетворює дане рівняння на тотожність, тобто

.

Задача Коші для цього рівняння полягає у тому, щоб знайти розв’язок рівняння, який задовольняє умовам: при , де - числа, які називаються початковими умовами.

Функція називається загальним розв’язком даного диференціального рівняння -го порядку, якщо при відповідному виборі довільних сталих ця функція є розв’язком будь-якої задачі Коші, що поставлена для цього рівняння. Будь-який розв’язок, який отриманий із загального розв’язку при конкретних значеннях сталих , називається частинним розв’язком цього рівняння.

1) Рівняння вигляду .

Розв’язок цього рівняння отримується - кратним інтегруванням, тобто:

 

 

,

,

,

, де

.

2) Диференціальне рівняння , що явно не містить шукану функцію , за допомогою підстановки ; зводять до відповідного рівняння першого порядку . Розв’язок цього рівняння знаходять, виходячи з його типу, а потім, для отримання загального розв’язку початкового рівняння, .

3) Диференціальне рівняння вигляду , що явно не містить незалежну зміну , підстановкою зводять до диференціального рівняння першого порядку

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Права частина рівняння не містить невідомої функції та її похідної , тому для отримання розв’язку тричі послідовно інтегруємо обидві його частини:

,

 

,

.

Отже, загальний розв’язок даного рівняння:

.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Дане рівняння того же типу, що і попереднє, тому його розв’язок знаходимо аналогічно, тобто:

.

За методом інтегрування частинами, маємо

,

,

,

= .

Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

,

або .

Приклад 3. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

,

.

Отже, загальний розв’язок рівняння:

.

Для того, щоб отримати частинний розв’язок, тобто, розв’язати задачу Коші, треба знайти та ,використовуючи початкові умови:

,

.

Таким чином, частинний розв’язок рівняння.

Приклад 4. Знайти частинний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Знайдемо загальний розв’язок інтегруванням:

.

 

 

.

Знайдемо та . Підставимо початкові умови у вирази з та .

; .

Тоді, частинний розв’язок рівняння має вигляд:

.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Дане рівняння не містить явно функції , тому зводимо його до рівняння першого порядку підстановкою , тоді . Маємо:

,

.

Отже, . Інтегруючи це рівняння, дістанемо

.

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому прикладу введемо підстановку . Отримаємо рівняння першого порядку:

,

яке є лінійним рівнянням. Його розв’язок будемо шукати у вигляді , а :

, ,

І.

 

.

ІІ.

.

Маємо , або .

Тоді . Проінтегруємо це рівняння:

.

Із попереднього .

Маємо , або

загальний розв’язок.

 

Приклад 7. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Рівняння явно не залежить від функції , тому підстановкою зводимо його до диференціального рівняння першого порядку:

,

яке є однорідним. Використовуємо заміну та отримаємо рівняння з відокремлюваними змінними:

, або

 

.

До інтеграла, що стоїть у лівій частині останнього рівняння застосуємо заміну . Дістанемо:

.

Маємо диференціальне рівняння першого порядку, яке розв’язуємо простим інтегруванням:

.

.

Отже, загальним розв’язком даного рівняння буде функція:

.

 

Приклад 8. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому, маємо: . Тоді

.

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні та обчислюємо отримані інтеграли:

 

;

загальний розв’язок.

Використаємо початкові умови:

Отже, розв’язок задачі Коші має вигляд:

.

Приклад 9. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Це рівняння явно не містить незалежну змінну , тому слід використати підстановку яка зведе наше рівняння до рівняння першого порядку:

.

Відокремимо змінні, та обчислимо одержані інтеграли:

 

 

.

 

Останнє рівняння – це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його:

.

Отже, загальний інтеграл даного рівняння другого порядку:

.

 

Приклад 10. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому прикладу вводимо підстановку ; . Дістанемо:

.

Для інтеграла, що знаходиться у лівій частині останнього рівняння, зробимо підстановку:

.

Отже:

.

Обчислимо інтеграл . Підінтегральна функція представляє собою правильний раціональний дріб, який можна розкласти на простіші:

 

 

;

Тоді: .

Для знаходження невідомих чисел по черзі прирівнюємо кожному із коренів знаменника, а потім, оскільки, невідомих більше ніж різних коренів знаменника, прирівнюємо коефіцієнти при в однакових ступенях в останній рівності. Дістанемо:

 

 

Отже,

 

 

=

 

;

 

Повертаючись до старої змінної, маємо:

, або

загальний інтеграл рівняння.

 

Приклад 11. Знайти частинний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Підстановкою початкове рівняння зводиться до рівняння Бернуллі першого порядку:

, або .

Розв’язок цього рівняння шукаємо у вигляді . Тоді .

, ,

 

І. .

II.

.

Дістанемо: .

Отже

.

 

Загальний інтеграл рівняння матиме вигляд:

.

Використовуючи початкові умови, знайдемо та :

Таким чином, частинний розв’язок рівняння має вигляд:

.

 

Приклад 12. Знайти частинний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Підстановкою зведемо дане рівняння до однорідного рівняння І-го порядку , яке за допомогою заміни перетвориться на диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

, або

 

, або

.

Тобто, , або .

Оскільки

.

Дістанемо:

, або загальний інтеграл рівняння.

З початкових умов випливає:

Отже, частинний розв’язок рівняння має вигляд:

 

.

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ; 7) ;

2) ; 8) ;

3) ; 9) ;

4) ; 10) ;

5) ; 11) ;

6) ; 12) .