Властивості подвійного інтеграла

1. Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла:

.

2. Подвійний інтеграл алгебраїчної суми дорівнює відповідній сумі інтегралів від складових:

.

3. Якщо область розкласти на скінчене число частин, тоді подвійний

інтеграл по всій області дорівнює сумі інтегралів по всіх її частинах:

 

.

 

4. Якщо в замкненій області функції і непевні й, задо-

вольняють співвідношення , тоді справедлива нерівність:

.

 

5. Абсолютна величина інтеграла не перевищує інтеграла від абсолютної

величини підінтегральної функції:

.

 

6. Теорема про середнє. Якщо і неперервні в скінченній

замкненій області , і знакостала в , то справедлива формула:

,

 

де .

Обчислення подвійного інтеграла в

Декартових координатах

 

Нехай функція неперервна в прямокутнику . Вираз є елементом площі в декартових прямокутних координатах. Подвійний інтеграл від функції по області обчислюється за формулою:

. (1.2)

Якщо поміняти місцями і в (1.2), то буде справедливою рівність:

.

В останній формулі інтегрування ведеться спочатку по при сталому , а потім одержаний результат інтегрується по , тобто послідовно обчислюється два визначених інтеграли.

Нехай функція неперервна або кусково-неперервна в криволінійній області , де і функції, які неперервні на відрізку . Візьмемо область в прямокутник , де найменше значення в , найбільше значення в (рис. 1.2).

 

 

 

 

 

Рис. 1.2

Визначимо у цьому прямокутнику функцію такими рівностями:

 

 

Функція кусково-неперервна в прямокутнику , тому, згідно формулою (1.2), маємо:

.

Звідси отримаємо наступну формулу:

. (1.3)

Якщо область інтегрування (рис.1.3), то, змінюючи у формулі (1.3) роль і , прийдемо до аналогічної формули:

. (1.4)

 

 

Рис. 1.3

 

Якщо область не задовольняє наведеним для (1.3) і (1.4) умовам, а саме, вертикальні й горизонтальні прямі перетинають її границю більше

ніж у двох точках, то у цьому випадку область розбивають на частини, як розглянуто вище, й, підсумовуючи одержаний результат по кожній частині, обчислюємо інтеграл по всій області.

 

Зразки розв’язування задач

 

Приклад 1. Обчислити інтеграл , якщо область поширена на інтервалі .

 

Розв’язання.

Шуканий інтеграл дорівнює

.

Для функції , яка розглядається як функція від при постійному , первісною буде функція .

Тому

.

Шуканий подвійний інтеграл дорівнює:

.

 

Приклад 2. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі

Розв’язання.

Побудуємо область інтегрування D, визначивши криві та прямі, якими обмежена ця область (рис. 1.4).

 

 

 

Рис. 1.4

Область аналітично має вигляд: Межі інтегрування вибираємо по змінній , для цього спроектуємо область на вісь . Область проектується на відрізок осі . Абсциса у цих межах змінюється від до . Таким чином, змінивши порядок інтегрування, матимемо:

.

Приклад 3. Обчислити подвійний інтеграл , якщо область обмежена кривими: ; ; .

Розв’язання. Область інтегрування зображена на рис. 1.5.

 

 

Рис.1.5

Для обчислення заданого інтеграла краще скористатися формулою (1.3):

 

 

Приклад 4. Розставити границі інтегрування двома способами й обчислити подвійний інтеграл

,

якщо область інтегрування обмежена лініями: .

Розв’язання.

Область інтегрування зображена на рис. 1.6.

 

 

 

Рис. 1.6

Для обчислення заданого інтеграла скористаємось спочатку формулою (1.3.):

.

Останній інтеграл проінтегруємо за частинами: ; ; ; . Тоді

;

.

Якщо для обчислення даного інтеграла скористатися формулою (1.4), то

і при ;

і при .

Отже, область D треба розбити на дві області, після чого маємо:

 

тобто ми одержали такий же результат, що й раніше.

 

Приклад 5. Змінити порядок інтегрування й обчислити повний інтеграл

.

Розв’язання.

Побудуємо область інтегрування D, яка обмежена кривою , прямою та віссю (рис.1.7.).

 

 

 

Рис 1.7

Спроектуємо область D на вісь у відрізок , на якому змінюється від до .

Таким чином,

Завдання для самостійної роботи

Ι. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

 

ΙΙ. Обчислити подвійний інтеграл:

а) ,

б)

в)

г)

 

Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат.