Застосування подвійних інтегралів

 

9.1. Обчислити об’єм тіл, обмежених поверхнями:

а) z = x ² + y ² + 1, x = 0, y = 0, z = 0; x = 4, y = 4.

б) y = 0, z = 0, 3 x + y = 6; 3 x + 2 y = 12; x + y + z = 6.

в) z = x ² + y ²; z = 0; y = 1; y = 2 x, y = 6- x.

г) z = 9 – y ²; x = 0; y = 0, z = 0; 3 x + 4 y = 12 ().

д) параболоїдом z = x ² + y ²; циліндром у = х ² і площинами у = 1 та z = 0.

9.2. Використовуючи подвійні інтеграли, знайти площу вказаних областей:

а) D обмежена лініями: х = 0, у = 0; х + у = 1;

б) D обмежена лініями: у = х; у = 5 х; х = 1;

в) D обмежена параболами та прямою х = 4.

9.3. Знайти масу:

а) квадратної пластинки з стороною 2 а, якщо густина матеріалу пропорційна квадрату відстані від точки перетину діагоналей, а на кутах квадрата густина дорівнює 1.

б) плоского кільця, що обмежене двома концентричними колами радіусів R та r (R > r), якщо густина матеріалу обернено пропорційна відстані від центра кіл. Густина на внутрішньому колі дорівнює 1.

9.4. Пластинка має форму прямокутного трикутника з катетами ОВ = а та ОА = в, її густина в довільній точці дорівнює відстані точки до катета ОА. Знайти статистичні моменти пластинки відносно катетів.

9.5. Визначити координати центра ваги області:

а) що обмежена кривою у = sin х та прямою, яка проходить через початок координат і вершину синусоїди;

б) що обмежена параболами у ² = 4 х + 4 та у ² = –2 х + 4.

 

Обчислення поверхневих інтегралів першого роду

Основні поняття

 

Обчислення поверхневих інтегралів можна звести до обчислення відповідних подвійних інтегралів.

Якщо S – незамкнена поверхня, яка задається рівнянням z = q (x, y), а область D – проекція цієї поверхні на площину хОу, тоді

(1) )

Якщо поверхня S замкнена, тоді її розбивають на дві незамкнені поверхні S ₁ та S ₂ так, щоб обидві вони проектувалися на одну область D площини хОу. Якщо рівнянням поверхні S ₁ буде z = q ₁(x, y), а рівнянням поверхні S ₂ буде z = q ₂(x, y), тоді

.

Приклад 4. Обчислити , де S – частина площини x + у + z = 1, яка лежить в першому октанті (мал. 5).

Розв’язання. В даному випадку рівнянням поверхні S буде z = 1 – x – y, її проекцією – областю D буде прямокутний трикутник обмежений лініями: x = 0, у = 0, х + у =1.

Поверхня S – незамкнена, тому за формулою (1) одержимо:

 

 

Приклад 5. Обчислити площу поверхні еліпсоїда обертання .

Розв’язання. Згідно властивості інтеграла по області ,

де S є поверхня еліпсоїда, яку можна розбити на дві частини

; .

Проекцією цих поверхонь на площину хОу буде круг D, який визначається системою нерівностей

Використовуючи симетрію еліпсоїда, одержимо:

.

Оскільки

, ,

то

.

Перейдемо до полярних координат в подвійному інтегралі

Тому

 

 

1. Обчислити інтеграл , де S – поверхня куба ; ; .

Рекомендація.

Шуканий інтеграл в 3 рази більше суми інтегралів по верхній та нижній граням куба.

2. Обчислити інтеграл , де S – сфера

х ² + у ² + z ² = а ².

3. Обчислити інтеграл , де S – бокова поверхня конуса

4. Обчислити інтеграли:

а) , де S – частина площини , що лежить в першому октанті.

б) , де S – півсфера .

5. Знайти масу сфери, якщо поверхнева густина в кожній точці дорівнює квадрату відстані цієї точки від деякого фіксованого діаметра сфери. (Відповідь: ).

Рекомендація. Якщо зафіксувати будь-який діаметр сфери в площині z = 0, то поверхнева густина буде R ² – х ² – у ².

 

Обчислення потрійних інтегралів

 

Основні поняття

 

Нехай V деяка просторова область, що обмежена замкненою поверхнею S. Область V називають правильною за напрямом осі Оz, якщо вона має властивості:

1. будь-яка пряма, що паралельна осі Оz, перетинає поверхню S не більше ніж в двох точках;

2. уся область V проектується на площину хОу в правильну двовимірну область D.

Аналогічно визначаються правильні тривимірні області за напрямами осей Ох та Оу.

Область V, яка правильна за напрямами усіх трьох координатних осей, називають правильною.

Правильними тривимірними областями є еліпсоїди, піраміди, призми та інші тіла.

Якщо тривимірна область V правильна, то обмежуючу її поверхню S можна розбити на дві частини: нижню – S ₁, рівняння якої , та верхню S ₂, рівняння якої (див. мал. 6).

 

 

B A N (x, y) M (x, y, z) b a y x z

 

 

Обидві ці поверхні (отже, і сама область V) проектуються на площину хОу в правильну область D, межа якої точками А та В поділяється на дві криві з рівняннями , .

Позначимо довільну точку області V через М (х, у, z), а її проекцію на площину хОу – N (х, у, 0).

При фіксованих х та у апліката z точки М, що знаходиться всередині області V, може змінюватись від до .

Якщо точка М пересувається всередині області V, то точка N пересувається всередині області D, а її координати (а тому і координати х, у точки М) повинні задовольняти нерівностям .

Отже, координати будь-якої точки повинні задовольняти систему нерівностей

Системи (1) та (2) є аналітичним описом просторової області V.

Якщо функції та неперервні в замкненій області D площини хОу і область V описується системою виду (1), то обчислення потрійного інтеграла можна здійснити шляхом послідовного обчислення інтегралів меншої кратності за формулою:

 

Якщо область V описується системою вигляд (2), то потрійний інтеграл обчислюють за формулою:

Ці формули найчастіше записують у вигляді:

(3)

 

, (4)

відповідно.

Отже, аналітичний опис області V виду (2) дозволяє обчислення потрійного інтеграла звести до обчислення трикратного інтеграла, в якому: межі зовнішнього інтеграла – сталі; межі середнього інтеграла можуть залежати лише від змінної інтегрування зовнішнього інтеграла; межі внутрішнього інтеграла можуть залежати від змінних інтегрування середнього та зовнішнього інтегралів.

Для обчислення потрійного інтеграла в прямокутних координатах крім формул (3) та (4) часто використовують ще формули:

(5)

(6)

, (7)

де D_x (D_z, D_у) – перетин області V площиною, яка паралельна площині уОz (площинам хОу та хОz, відповідно) і проходить через довільну точку інтервалу (а, b) (інтервалу (с, d) та (, q), відповідно) – інтервалу зовнішнього інтеграла.

Ці формули часто спрощують обчислення потрійних інтегралів.

Приклад 6. Обчислити , де область V обмежена поверхнею обертання кривої навколо осі Оz і площиною z = h (h > 0).

Розв’язування. Щоб одержати рівняння поверхні обертання заданої лінії навколо осі Оz, залишимо змінну z в рівнянні лінії без зміни, а у замінимо на . Одержимо: – рівняння параболоїда обертання.

Проекцією області V на площину хОу буде круг х ² + у ² = h.

Заданий потрійний інтеграл можна обчислити за різними формулами.

Для застосування формули (4) використовуємо аналітичний опис області інтегрування V:

.

Тоді одержимо:

Обчислення інтеграла за цією формулою приводить до громіздких викладок.

Тому застосуємо формулу (6):

,

де D_z є перетин області V площиною, яка перпендикулярна до осі Оz і лежить на висоті z, причому .

Перетин D_z буде кругом радіусом , що випливає із рівняння поверхні обертання х ² + у ² = z.

Внутрішній інтеграл

,

оскільки він дорівнює площі круга. Отже,

.

Зауваження. Якщо область V – прямокутний паралелепіпед то формула (4) приймає вигляд:

. (8)

Якщо підінтегральна функція неперервна в області V, то у формулі (8) змінні інтегрування х, у, z можна міняти місцями:

Якщо підінтегральна функція є добутком трьох функцій , то трикратний інтеграл правої частини рівності (8) буде дорівнювати добутку трьох відповідних визначених інтегралів.

Приклад 7. Обчислити інтеграл , якщо область V обмежена поверхнями , , , х + у + z = 3.

Розв’язання. Область інтегрування V зобразимо на мал. 7. Визначимо аналітичний опис заданої області V. Для визначення меж змінної z проведемо через область V пряму, яка паралельна осі Oz. Тоді одержимо: .

Для опису області D виберемо сталі межі зміни х: . Тоді y буде змінюватись в межах: .

 

 

 

 

 

Мал.7

 

За формулою (4) перейдемо від заданого потрійного інтеграла до трикратного інтеграла:

Отже, область V має аналітичний опис:

=

.

 

Приклад 8. Обчислити об’єм області, обмеженої еліпсоїдом

Розв’язання. Згідно властивості 6 інтеграла по області шуканий об’єм v області V знайдемо за формулою:

.

Область V обмежена знизу поверхнею ,

а зверху поверхнею .

 

Область V проектується на площину хОу в область D, яка обмежена еліпсом .

Тому область V аналітично описується нерівностями:

.

За формулою (4) одержимо:

 

Для обчислення внутрішнього інтеграла зробимо підстановку

При такій підстановці t змінюється від до . Одержимо:

.

Отже, об’єм еліпсоїда .

Якщо а = b = с, то одержимо об’єм кулі .

 

Приклад 9. Обчислити масу області V, якщо густина розподілу маси , а область V є циліндром , .

Розв’язання. Згідно пункту 12.1.4 шукану масу m знайдемо за формулою:

.

Будемо шукати масу чверті циліндра і одержаний результат помножимо на 4. Тоді

.