Інтеграли по області, їх властивості, різновиди та деякі застосування



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Інтеграли по області, їх властивості, різновиди та деякі застосування



Інтеграли по області, їх властивості, різновиди та деякі застосування

 

Визначення інтеграла

 

Нехай в замкненій області D задана функція .

Область D довільним чином розіб’ємо на n частин

D1, D2, ... , Dn і в кожній частині візьмемо довільну точку: М1, М2, ... , Мn. Позначимо міру частини Dі, діаметром di, а через – максимальний діаметр частин D1, D2, ... , Dn, тобто .

Інтеграл по області D визначається як границя інтегральної суми за формулою

(1)

Якщо інтеграл від функції по області D існує, то ця функція зветься інтегрованою в області D.

Достатньою умовою інтегрованості функції в замкненій обмеженої області D є її неперервність в цій області.

 

Основні властивості інтеграла по області

Основні властивості інтеграла по області аналогічні властивостям визначеного інтеграла. Вкажемо ці властивості при умові інтегрованості відповідних функцій.

1. Якщо область D розбити на дві області D1 та D2 без спільних внутрішніх точок, тоді

.

2. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

3. Інтеграл по області D від алгебраїчної суми скінченої кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі від кожної з цих функцій:

.

4. Якщо у довільній точці , то виконується нерівність

.

5. .

6. Якщо підінтегральна функція , то інтеграл від такої функції по області D дорівнює мірі області

. (2)

7. Оцінка інтеграла по області. Якщо , то

.

8. Теорема про середнє. Якщо неперервна в замкненій області D, то в цій області знайдеться хоча б одна така точка М0, що буде виконуватись рівність

.

 

Різновиди інтегралів по області

 

Інтегралам по області надають спеціальні назви і позначення в залежності від типу області.

Якщо областю інтегрування є дуга АВ кривої L, то інтеграл називають криволінійним інтегралом першого роду і позначають так:

.

Оскільки мірою лінійної множини є довжина, то під знаком інтеграла замість пишуть . Якщо дуга АВ – плоска і лежить в площині хОу, тоді точка М дуги АВ має координати (х, у), тому

(3)

Якщо дуга АВ просторова, то , тому

(4)

Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму інтегрування:

. (5)

Якщо областю інтегрування буде деяка поверхня S, тоді інтеграл називають поверхневим інтегралом першого роду і позначають .

Оскільки мірою поверхневої множини є площа, то під знаком інтеграла замість пишуть . Два знаки інтеграла вказують, що інтегрування ведеться по двовимірній області. Якщо поверхня S не плоска, тоді і тому

(6)

Якщо область інтегрування є плоскою поверхнею D, то ,

(7)

Такий інтеграл називають подвійним інтегралом.

Інтеграл по просторовій області V називають потрійним інтегралом і позначають так:

.

Оскільки , , то існують і такі позначення потрійного інтеграла:

.(8)

Існують ще криволінійні та поверхневі інтегралидругого роду, які є різновидами інтеграла по орієнтованій області від вектор-функції.

Їх позначають так:

, , . (9)

де – нормаль до поверхні S.

Криволінійний інтеграл 2 роду змінює свій знак при зміні напряму інтегрування:

.

Аналогічну властивість мають поверхневі інтеграли другого роду.

Оскільки різні сторони поверхні відповідають різним напрямкам нормалі, то інтеграли, у яких областями інтегрування є різні сторони поверхні S, відрізняються знаками.

 

Обчислення подвійних інтегралів

 

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Оу (див. мал. 1, а), то її аналітично можна описати нерівностями виду

(1)

і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:

. (2)

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Ох (див. мал. 1, б), то її аналітично можна описати нерівностями виду

(3)

і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:

(4)

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямі осі Оу і в напрямі осі Ох (див. мал. 1, в), тоді мають місце рівності:

, (5)

які означають, що подвійний інтеграл в цьому випадку можна обчислити за формулою (2) або (4).

Для обчислення повторного інтеграла треба спочатку за формулою Ньютона-Лейбніца знайти внутрішній інтеграл за відповідною змінною інтегрування, а потім обчислити зовнішній інтеграл за іншою змінною інтегрування.

       
   


Y Y

d

D D

 
 


a 0 b x 0 x

c

 
a) б)

 

Y

 
 


в) D Мал.1

 

 
 


X

Приклад 2. Визначити сумарний заряд Q пластинки, що обмежена лініями у = х2, у2 = х, 4х + 4у – 3 = 0, якщо щільність розподіленого поверхневого заряду .

Розв’язання.Згідно фізичному значенню інтеграла по області маємо:

.

Область інтегрування D зображена на мал. 2. Щоб одержати аналітичний опис заданої пластинки у вигляді нерівностей (3) розіб’ємо D на дві частини D1 та D2 прямою , яка проходить паралельно осі Ох через точку перетину заданої прямої і параболи . Використовуючи властивості інтеграла по області отримаємо:

y

 

4x+4y-3=0

x

Мал.2

 

З малюнка 2 одержуємо аналітичний опис областей:

.

Для цього в кожній області спочатку визначили сталі межі змінної у, а потім – нерівності для х шляхом визначення значень х, якщо рухатися через область за напрямом осі Ох.

Отже,

(од. зар.).

 

 

Мал. 4

 
 

 


1. Обчислити повторні інтеграли:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 

2. Записати рівняння ліній, що обмежують області інтегрування заданих інтегралів та зобразити ці області:

 

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

 

3. Перейти від подвійного інтеграла до повторного:

а) D – трикутник з вершинами O(0, 0), А(1, 0), В(1, 1).

б) D – трапеція з вершинами O(0, 0), А(2, 0), В(1, 1), С(0, 1).

в) D – паралелограм з вершинами А(1, 5), В(2, 4), С(2, 7), D(1, 5).

г) D – параболічний сегмент, що обмежений параболою

у = х2 та відрізком, який з’єднує точки параболи В(–1, 2) та

А(1, 2).

д) D – кругове кільце, що обмежене колами радіусів r = 1 та R = 3 із загальним центром O(0, 0).

4. Змінити порядок інтегрування

а) ; б) ; в) .

5. Обчислити інтеграл , якщо

а) D – трикутник з вершинами O(0, 0), А(1, 1) та В(0, 1);

б) D – обмежена прямою, що проходить через точки

А(2, 0) та В(0, 2), і дугою кола з центром в точці С(0, 1), радіуса 1.

6. Обчислити інтеграл , де D – область, що обмежена лініями у2 = х, х = 0, у = 1.

7. Обчислити , де D – область, що обмежена лініями , у = х.

8. Використовуючи перехід до полярних координат, обчислити інтеграли:

 

а) , D – півкруг радіуса а з центром в початку координат, що лежить вище осі Ох.

б) ;

в) , D – визначається нерівностями

г) , D – частина кільця

д) , D – круг .

Основні поняття

 

Обчислення поверхневих інтегралів можна звести до обчислення відповідних подвійних інтегралів.

Якщо S – незамкнена поверхня, яка задається рівнянням z = q(x, y), а область D – проекція цієї поверхні на площину хОу, тоді

(1))

Якщо поверхня S замкнена, тоді її розбивають на дві незамкнені поверхні S1 та S2 так, щоб обидві вони проектувалися на одну область D площини хОу. Якщо рівнянням поверхні S1 буде z = q1(x , y), а рівнянням поверхні S2 буде z = q2(x, y), тоді

.

Приклад 4. Обчислити , де S – частина площини x + у + z = 1, яка лежить в першому октанті (мал. 5).

Розв’язання. В даному випадку рівнянням поверхні S буде z = 1 – xy, її проекцією – областю D буде прямокутний трикутник обмежений лініями: x = 0, у = 0, х + у =1.

Поверхня S – незамкнена, тому за формулою (1) одержимо:

 

 
 

 

 


 

Приклад 5. Обчислити площу поверхні еліпсоїда обертання .

Розв’язання.Згідно властивості інтеграла по області ,

де S є поверхня еліпсоїда, яку можна розбити на дві частини

; .

Проекцією цих поверхонь на площину хОу буде круг D, який визначається системою нерівностей

Використовуючи симетрію еліпсоїда, одержимо:

.

Оскільки

, ,

то

.

Перейдемо до полярних координат в подвійному інтегралі

Тому

 
 

 

 


1. Обчислити інтеграл , де S – поверхня куба ; ; .

Рекомендація.

Шуканий інтеграл в 3 рази більше суми інтегралів по верхній та нижній граням куба.

2. Обчислити інтеграл , де S – сфера

х2 + у2 + z2 = а2.

3. Обчислити інтеграл , де S – бокова поверхня конуса

4. Обчислити інтеграли:

а) , де S – частина площини , що лежить в першому октанті.

б) , де S – півсфера .

5. Знайти масу сфери, якщо поверхнева густина в кожній точці дорівнює квадрату відстані цієї точки від деякого фіксованого діаметра сфери. (Відповідь: ).

Рекомендація.Якщо зафіксувати будь-який діаметр сфери в площині z = 0, то поверхнева густина буде R2х2у2.

 

Основні поняття

 

Нехай V деяка просторова область, що обмежена замкненою поверхнею S. Область V називають правильною за напрямом осі Оz, якщо вона має властивості:

1. будь-яка пряма, що паралельна осі Оz, перетинає поверхню S не більше ніж в двох точках;

2. уся область V проектується на площину хОу в правильну двовимірну область D.

Аналогічно визначаються правильні тривимірні області за напрямами осей Ох та Оу.

Область V, яка правильна за напрямами усіх трьох координатних осей, називають правильною.

Правильними тривимірними областями є еліпсоїди, піраміди, призми та інші тіла.

Якщо тривимірна область V правильна, то обмежуючу її поверхню S можна розбити на дві частини: нижню – S1, рівняння якої , та верхню S2, рівняння якої (див. мал. 6).

 

 

B
A
N(x,y)
M(x,y,z)
b
a
y
x
z

 

 

 

Обидві ці поверхні (отже, і сама область V) проектуються на площину хОу в правильну область D, межа якої точками А та В поділяється на дві криві з рівняннями , .

Позначимо довільну точку області V через М(х, у, z), а її проекцію на площину хОуN(х, у, 0).

При фіксованих х та у апліката z точки М, що знаходиться всередині області V, може змінюватись від до .

Якщо точка М пересувається всередині області V, то точка N пересувається всередині області D, а її координати (а тому і координати х, у точки М) повинні задовольняти нерівностям .

Отже, координати будь-якої точки повинні задовольняти систему нерівностей

Системи (1) та (2) є аналітичним описом просторової області V.

Якщо функції та неперервні в замкненій області D площини хОу і область V описується системою виду (1), то обчислення потрійного інтеграла можна здійснити шляхом послідовного обчислення інтегралів меншої кратності за формулою:

 

Якщо область V описується системою вигляд (2), то потрійний інтеграл обчислюють за формулою:

Ці формули найчастіше записують у вигляді:

(3)

 

, (4)

відповідно.

Отже, аналітичний опис області V виду (2) дозволяє обчислення потрійного інтеграла звести до обчислення трикратного інтеграла, в якому: межі зовнішнього інтеграла – сталі; межі середнього інтеграла можуть залежати лише від змінної інтегрування зовнішнього інтеграла; межі внутрішнього інтеграла можуть залежати від змінних інтегрування середнього та зовнішнього інтегралів.

Для обчислення потрійного інтеграла в прямокутних координатах крім формул (3) та (4) часто використовують ще формули:

(5)

(6)

, (7)

де Dx(Dz, Dу) – перетин області V площиною, яка паралельна площині уОz (площинам хОу та хОz, відповідно) і проходить через довільну точку інтервалу (а, b) (інтервалу (с, d) та ( , q), відповідно) – інтервалу зовнішнього інтеграла.

Ці формули часто спрощують обчислення потрійних інтегралів.

Приклад 6. Обчислити , де область V обмежена поверхнею обертання кривої навколо осі Оz і площиною z = h (h > 0).

Розв’язування.Щоб одержати рівняння поверхні обертання заданої лінії навколо осі Оz, залишимо змінну z в рівнянні лінії без зміни, а у замінимо на . Одержимо: – рівняння параболоїда обертання.

Проекцією області V на площину хОу буде круг х2 + у2 = h.

Заданий потрійний інтеграл можна обчислити за різними формулами.

Для застосування формули (4) використовуємо аналітичний опис області інтегрування V:

.

Тоді одержимо:

Обчислення інтеграла за цією формулою приводить до громіздких викладок.

Тому застосуємо формулу (6):

,

де Dz є перетин області V площиною, яка перпендикулярна до осі Оz і лежить на висоті z, причому .

Перетин Dz буде кругом радіусом , що випливає із рівняння поверхні обертання х2 + у2 = z.

Внутрішній інтеграл

,

оскільки він дорівнює площі круга. Отже,

.

Зауваження. Якщо область V – прямокутний паралелепіпед то формула (4) приймає вигляд:

. (8)

Якщо підінтегральна функція неперервна в області V, то у формулі (8) змінні інтегрування х, у, z можна міняти місцями:

Якщо підінтегральна функція є добутком трьох функцій , то трикратний інтеграл правої частини рівності (8) буде дорівнювати добутку трьох відповідних визначених інтегралів.

Приклад 7. Обчислити інтеграл , якщо область V обмежена поверхнями , , , х + у + z = 3.

Розв’язання.Область інтегрування V зобразимо на мал. 7. Визначимо аналітичний опис заданої області V. Для визначення меж змінної z проведемо через область V пряму, яка паралельна осі Oz. Тоді одержимо: .

Для опису області D виберемо сталі межі зміни х: . Тоді y буде змінюватись в межах: .

 

 

 

 


 

 

Мал.7

 

За формулою (4) перейдемо від заданого потрійного інтеграла до трикратного інтеграла:

Отже, область V має аналітичний опис:

=

.

 

Приклад 8. Обчислити об’єм області, обмеженої еліпсоїдом

Розв’язання.Згідно властивості 6 інтеграла по області шуканий об’єм v області V знайдемо за формулою:

.

Область V обмежена знизу поверхнею ,

а зверху поверхнею .

 

Область V проектується на площину хОу в область D, яка обмежена еліпсом .

Тому область V аналітично описується нерівностями:

.

За формулою (4) одержимо:

 

Для обчислення внутрішнього інтеграла зробимо підстановку

При такій підстановці t змінюється від до . Одержимо:

.

Отже, об’єм еліпсоїда .

Якщо а = b = с, то одержимо об’єм кулі .

 

Приклад 9. Обчислити масу області V, якщо густина розподілу маси , а область V є циліндром , .

Розв’язання.Згідно пункту 12.1.4 шукану масу m знайдемо за формулою:

.

Будемо шукати масу чверті циліндра і одержаний результат помножимо на 4. Тоді

.

 

Основні поняття

 

Інтеграли по області називають невластивими, якщо область інтегрування D необмежена або підінтегральна функція необмежена в деяких точках М області інтегрування. Невластиві інтеграли по області можуть бути збіжними або розбіжними.

Випадок нескінченної області. Якщо функція неперервна в нескінченій області D, то розглядають

, (1)

 

де Dn – обмежена область така, що і , тобто Dn розширюється за довільним законом і містить довільну точку область D.

Якщо границя правої частини рівності (1) існує і не залежить від вибору області Dn, то відповідний невластивий інтеграл по області D називається збіжним. Якщо ця границя не існує або дорівнює нескінченності, то невластивий інтеграл називають розбіжним.

Якщо підінтегральна функція невід’ємна в області D, то для збіжності невластивого інтеграла необхідно і достатньо, щоб границя правої частини рівності (1) існувала хоча би для одного вибору областей Dn.

Випадок розривної (необмеженої) функції. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженої області D за виключенням точки М0, то розглядають

 

, (2)

де – область, яка одержується із області D шляхом видалення області діаметром e, яка містить точку М0.

Якщо границя правої частини (2) існує і не залежить від виду видалених областей діаметром , то відповідний невластивий інтеграл називається збіжним, в протилежному випадку – розбіжним.

Якщо , то границя в (2) не залежить від виду видаленої області. В цьому випадку найчастіше видаляють окіл радіуса e точки М0.

Якщо в області інтегрування підінтегральна функція має розриви другого роду (стає необмеженою) на деякій лінії L або поверхні S, то ця особливість видаляється із області інтегрування, а потім видалена частина стягується до особливості.

Приклад 11.Дослідити збіжність інтеграла , де область D – площина хОу.

Розв’язання. Заданий інтеграл є невластивим подвійним інтегралом по необмеженій області D, підінтегральна функція невід’ємна. Позначимо через DR – круг радіуса R з центром в початку координат. Тоді рівність (1) прийме вигляд:

.

Обчислимо подвійний інтеграл по області DR переходом до полярної системи координат:

.

Отже, .

Відповідь: невластивий інтеграл – збіжний і дорівнює .

Приклад 12. Дослідити збіжність інтеграла

.

Розв’язання.Задано невластивий подвійний інтеграл по обмеженій області від функції, яка необмежена на колі

х2 + у2 = 4 і невід’ємна.

Позначимо через круг радіуса R = 2 – з центром в початку координат. Тоді за формулою (2) одержимо:

.

Обчислимо подвійний інтервал по області переходом до полярних координат:

Заданий інтеграл дорівнює

,

тому він збіжний.

Зауваження:

1. Якщо підінтегральна функція і , то невластивий інтеграл по області називають абсолютно збіжним.

Для обчислення абсолютно збіжного інтеграла по області межі інтегралів можна визначати у будь-якій системі координат.

Якщо інтеграл по області абсолютно не збігається, то заміна змінних і переставлення порядку інтегрування потребують спеціального дослідження.

2. При дослідженні збіжності невластивих інтегралів по області часто застосовують порівняльні ознаки. Наприклад, якщо D є площиною, то для збіжності інтеграла істотно лише поведінка для великих , тому потрібно використовувати інтеграл , який збігається р > 2 і розбігається при р < 2.

Аналогічно в тривимірному просторі інтеграл від на нескінченності збігається лише при р > 3.

При досліджені невластивих інтегралів по області від функції, яка необмежена в ізольованій точці М0 області D часто використовують порівняння з інтегралами на площині та в просторі.

Перший із вказаних інтегралів збігається при р < 2, а другий – при р < 3.

Якщо особливості підінтегральної функції не ізольовані, то умову збіжності часто вдається одержати шляхом вибору такої системи координат, в якій координатні лінії проходять вздовж особливості.

 
 

 

 


1.Обчислити інтеграли:



Читайте также:



Мы поможем в написании ваших работ!


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.175.212.130 (0.059 с.)