Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Обчислення подвійних інтегралівСодержание книги Поиск на нашем сайте
Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Оу (див. мал. 1, а), то її аналітично можна описати нерівностями виду (1) і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою: . (2) Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Ох (див. мал. 1, б), то її аналітично можна описати нерівностями виду (3) і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою: (4) Якщо область D на площині хОу правильна в напрямі осі Оу і в напрямі осі Ох (див. мал. 1, в), тоді мають місце рівності: , (5) які означають, що подвійний інтеграл в цьому випадку можна обчислити за формулою (2) або (4). Для обчислення повторного інтеграла треба спочатку за формулою Ньютона-Лейбніца знайти внутрішній інтеграл за відповідною змінною інтегрування, а потім обчислити зовнішній інтеграл за іншою змінною інтегрування. Y Y d
D D a 0 b x 0 x c
Y в) D Мал.1
X Приклад 2. Визначити сумарний заряд Q пластинки, що обмежена лініями у = х 2, у 2 = х, 4 х + 4 у – 3 = 0, якщо щільність розподіленого поверхневого заряду . Розв’язання. Згідно фізичному значенню інтеграла по області маємо: . Область інтегрування D зображена на мал. 2. Щоб одержати аналітичний опис заданої пластинки у вигляді нерівностей (3) розіб’ємо D на дві частини D 1 та D 2 прямою , яка проходить паралельно осі Ох через точку перетину заданої прямої і параболи . Використовуючи властивості інтеграла по області отримаємо:
y
4x+4y-3=0 x Мал.2
З малюнка 2 одержуємо аналітичний опис областей: . Для цього в кожній області спочатку визначили сталі межі змінної у, а потім – нерівності для х шляхом визначення значень х, якщо рухатися через область за напрямом осі Ох. Отже, (од. зар.).
Заміна змінних в подвійному інтегралі
При заміні змінних: , область D площини хОу відображається в область G площини uОv; елемент площини dxdy відобразиться в елемент площі , де визначник називають функціональним визначником або якобіаном, а його модуль називають коефіцієнтом спотворення області. Отже, якщо функції та неперервні в області G разом із своїми частинними похідними першого порядку, то має місце рівність . Часто для обчислення подвійних інтегралів використовують полярні координати: , . Тоді якобіан переходу , а елемент площі . Перехід в подвійному інтегралі до полярних координат доцільно використовувати в тих випадках, коли підінтегральна функція залежить від х 2 + у 2 або від , а також у випадках, коли межа області D містить дуги кіл та промені, що виходять із початку координат. Приклад 3. Обчислити інтеграл , по чверті кільця , що лежить в першому квадранті. Розв’язання. Область інтегрування D зобразимо на мал. 3.
Підставимо в нерівність , замість х та у їх значення , . Одержимо: . Оскільки кільце лежить в першому квадранті, то . Отже
Зауваження. При переході до полярних координат в подвійному інтегралі треба враховувати, що в точці О(0,0) якобіан дорівнює нулю. Так, для області D, що зображена на малюнку 4, перехід до повторного інтегралу приймає вид:
Мал. 4 |
1. Обчислити повторні інтеграли:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
2. Записати рівняння ліній, що обмежують області інтегрування заданих інтегралів та зобразити ці області:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
3. Перейти від подвійного інтеграла до повторного:
а) D – трикутник з вершинами O (0, 0), А (1, 0), В (1, 1).
б) D – трапеція з вершинами O (0, 0), А (2, 0), В (1, 1), С (0, 1).
в) D – паралелограм з вершинами А (1, 5), В (2, 4), С (2, 7), D (1, 5).
г) D – параболічний сегмент, що обмежений параболою
у = х 2 та відрізком, який з’єднує точки параболи В (–1, 2) та
А (1, 2).
д) D – кругове кільце, що обмежене колами радіусів r = 1 та R = 3 із загальним центром O (0, 0).
4. Змінити порядок інтегрування
а) ; б) ; в) .
5. Обчислити інтеграл , якщо
а) D – трикутник з вершинами O (0, 0), А (1, 1) та В (0, 1);
б) D – обмежена прямою, що проходить через точки
А (2, 0) та В (0, 2), і дугою кола з центром в точці С (0, 1), радіуса 1.
6. Обчислити інтеграл , де D – область, що обмежена лініями у 2 = х, х = 0, у = 1.
7. Обчислити , де D – область, що обмежена лініями , у = х.
8. Використовуючи перехід до полярних координат, обчислити інтеграли:
а) , D – півкруг радіуса а з центром в початку координат, що лежить вище осі Ох.
б) ;
в) , D – визначається нерівностями
г) , D – частина кільця
д) , D – круг .
| Поделиться: |
Познавательные статьи:
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 372; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.67.56 (0.006 с.)