Обчислення подвійних інтегралів

 

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Оу (див. мал. 1, а), то її аналітично можна описати нерівностями виду

(1)

і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:

. (2)

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Ох (див. мал. 1, б), то її аналітично можна описати нерівностями виду

(3)

і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:

(4)

Якщо область D на площині хОу правильна в напрямі осі Оу і в напрямі осі Ох (див. мал. 1, в), тоді мають місце рівності:

, (5)

які означають, що подвійний інтеграл в цьому випадку можна обчислити за формулою (2) або (4).

Для обчислення повторного інтеграла треба спочатку за формулою Ньютона-Лейбніца знайти внутрішній інтеграл за відповідною змінною інтегрування, а потім обчислити зовнішній інтеграл за іншою змінною інтегрування.

Y Y

d

D D

a 0 b x 0 x

c

a) б)

 

Y

в) D Мал.1

 

X

Приклад 2. Визначити сумарний заряд Q пластинки, що обмежена лініями у = х ², у ² = х, 4 х + 4 у – 3 = 0, якщо щільність розподіленого поверхневого заряду .

Розв’язання. Згідно фізичному значенню інтеграла по області маємо:

.

Область інтегрування D зображена на мал. 2. Щоб одержати аналітичний опис заданої пластинки у вигляді нерівностей (3) розіб’ємо D на дві частини D ₁ та D ₂ прямою , яка проходить паралельно осі Ох через точку перетину заданої прямої і параболи . Використовуючи властивості інтеграла по області отримаємо:

y

 

4x+4y-3=0

x

Мал.2

 

З малюнка 2 одержуємо аналітичний опис областей:

.

Для цього в кожній області спочатку визначили сталі межі змінної у, а потім – нерівності для х шляхом визначення значень х, якщо рухатися через область за напрямом осі Ох.

Отже,

(од. зар.).

 

 

Заміна змінних в подвійному інтегралі

 

При заміні змінних: , область D площини хОу відображається в область G площини uОv; елемент площини dxdy відобразиться в елемент площі , де визначник

називають функціональним визначником або якобіаном, а його модуль називають коефіцієнтом спотворення області.

Отже, якщо функції та неперервні в області G разом із своїми частинними похідними першого порядку, то має місце рівність

.

Часто для обчислення подвійних інтегралів використовують полярні координати: , . Тоді якобіан переходу , а елемент площі .

Перехід в подвійному інтегралі до полярних координат доцільно використовувати в тих випадках, коли підінтегральна функція залежить від х ² + у ² або від , а також у випадках, коли межа області D містить дуги кіл та промені, що виходять із початку координат.

Приклад 3. Обчислити інтеграл , по чверті кільця , що лежить в першому квадранті.

Розв’язання. Область інтегрування D зобразимо на мал. 3.

 

Підставимо в нерівність , замість х та у їх значення , . Одержимо: . Оскільки кільце лежить в першому квадранті, то .

Отже

Мал. 3

Зауваження. При переході до полярних координат в подвійному інтегралі треба враховувати, що в точці О(0,0) якобіан дорівнює нулю. Так, для області D, що зображена на малюнку 4, перехід до повторного інтегралу приймає вид:

Мал. 4