Заміна змінних в потрійному інтегралі

 

Нехай система функцій

здійснює взаємно-однозначне відображення області V в системі координат (х, у, z) в область V ₁ в системі координат . Тоді перехід від змінних х, у, z до змінних в потрійному інтегралі здійснюється за формулою:

 

, (9)

де – якобіан перетворення елемента об’єму області, причому

(10)

У випадку переходу до циліндричних координат якобіан

У випадку переходу до сферичних координат якобіан .

Приклад 10. Обчислити об’єм області, обмеженої еліпсоїдом .

Розв’язання. Знаходження об’єму v заданої області V за формулою

вимагає обчислити потрійний інтеграл. Цей інтеграл обчислено при розв’язанні прикладу 8.

Покажемо, що відповідна заміна змінних дозволяє ці обчислення значно спростити.

Зробимо заміну змінних: , , .

В цієї узагальненої сферичної системі координат рівняння еліпсоїда приймає вигляд: r = 1. Тому область інтегрування V ₁ визначається системою нерівностей:

Якобіан переходу буде . Отже, за формулою (9) одержимо:

.

 

 

1. Обчислити інтеграли: а) ; б) ; в) .

(Відповідь: а) б) 6; в)

2. Оцінити інтеграл , де D – куб:

х 1; у 1; z 1; х 3; у 3; z 3.

(Відповідь: 24 < I < 72).

3. Обчислити ,

де область D описується нерівностями:

(Відповідь: ).

4. Обчислити інтеграл ,

де V – область, яка обмежена площинами z = 0 та z = h і поверхнею обертання кривої у = z ² навколо осі Oz.

(Відповідь: ).

5. Обчислити інтеграл , де V – область, яка обмежена координатними площинами та площиною

2 х + 2 у + z – 6 = 0. (Відповідь: ).

6. Обчислити інтеграл , де V – область, яка обмежена поверхнями: х = у ²; у = х ²; z = xy та z = 0.

(Відповідь: ).

7. Знайти об’єм тіла, яке обмежене поверхнями

4 z = х ² + у ² та х ² + у ² + z ² = 12

(Відповідь: куб. од.).

8. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями

х ² + у ² + z ² = 16 та х ² + у ² + z ² – 8 z = 0.

Рекомендація: Спочатку використати формулу . При обчисленні подвійного інтеграла перейти до полярних координат.

(Відповідь: куб. од.).

9. Обчислити об’єм області, яка обмежена поверхнями:

а) сферою радіуса а; б) конусом з вершиною в центрі сфери і твірними, що нахилені до осі Оz під кутом ; в) двома площинами, які проходять через вісь Оz і утворюють з площиною хОz кути та ; г) площиною хОу.

Рекомендація: Розв’язування провести в сферичних координатах. Рівнянням сфери буде рівність r = а. Аналітичний опис області буде:

(Відповідь: куб. од.).

10. Знайти масу частини кулі радіуса R, яка розташована в першому октанті і має в кожній точці густину рівну відстані цієї точки від площини хОу.

Рекомендація: густина розподілу маси . Потрійний інтеграл обчислити переходом до сферичних координат.

(Відповідь: ).

11. Знайти масу тіла, обмеженого поверхнями:

х ² + у ² + z ² = 4 та 3 z = х ² + у ².

Густина розподілу маси в кожній точці тіла: .

(Відповідь: )

12. Обчислити об’єм частини кулі х ² + у ² + z ² 4 R ², яка лежить всередині циліндра х ² + у ² = R ².

Рекомендація: Перейти до циліндричних координат.

(Відповідь: куб. од.).

13. Обчислити об’єм області, яка обмежена поверхнями х ² + у ² = R ² та z = х ² + у ².

(Відповідь: куб. од.).

14. Переходом до сферичних координат обчислити інтеграл

де D – куля радіуса R.

(Відповідь: ).

15. Переходом до циліндричних координат обчислити

(Відповідь: ).

 

Невластиві інтеграли по області

Основні поняття

 

Інтеграли по області називають невластивими, якщо область інтегрування D необмежена або підінтегральна функція необмежена в деяких точках М області інтегрування. Невластиві інтеграли по області можуть бути збіжними або розбіжними.

Випадок нескінченної області. Якщо функція неперервна в нескінченій області D, то розглядають

, (1)

 

де D_n – обмежена область така, що і , тобто D_n розширюється за довільним законом і містить довільну точку область D.

Якщо границя правої частини рівності (1) існує і не залежить від вибору області D_n, то відповідний невластивий інтеграл по області D називається збіжним. Якщо ця границя не існує або дорівнює нескінченності, то невластивий інтеграл називають розбіжним.

Якщо підінтегральна функція невід’ємна в області D, то для збіжності невластивого інтеграла необхідно і достатньо, щоб границя правої частини рівності (1) існувала хоча би для одного вибору областей D_n.

Випадок розривної (необмеженої) функції. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженої області D за виключенням точки М ₀, то розглядають

 

, (2)

де – область, яка одержується із області D шляхом видалення області діаметром e, яка містить точку М ₀.

Якщо границя правої частини (2) існує і не залежить від виду видалених областей діаметром , то відповідний невластивий інтеграл називається збіжним, в протилежному випадку – розбіжним.

Якщо , то границя в (2) не залежить від виду видаленої області. В цьому випадку найчастіше видаляють окіл радіуса e точки М₀.

Якщо в області інтегрування підінтегральна функція має розриви другого роду (стає необмеженою) на деякій лінії L або поверхні S, то ця особливість видаляється із області інтегрування, а потім видалена частина стягується до особливості.

Приклад 11. Дослідити збіжність інтеграла , де область D – площина хОу.

Розв’язання. Заданий інтеграл є невластивим подвійним інтегралом по необмеженій області D, підінтегральна функція невід’ємна. Позначимо через D_R – круг радіуса R з центром в початку координат. Тоді рівність (1) прийме вигляд:

.

Обчислимо подвійний інтеграл по області D_R переходом до полярної системи координат:

.

Отже, .

Відповідь: невластивий інтеграл – збіжний і дорівнює .

Приклад 12. Дослідити збіжність інтеграла

.

Розв’язання. Задано невластивий подвійний інтеграл по обмеженій області від функції, яка необмежена на колі

х ² + у ² = 4 і невід’ємна.

Позначимо через круг радіуса R = 2 – з центром в початку координат. Тоді за формулою (2) одержимо:

.

Обчислимо подвійний інтервал по області переходом до полярних координат:

Заданий інтеграл дорівнює

,

тому він збіжний.

Зауваження:

1. Якщо підінтегральна функція і , то невластивий інтеграл по області називають абсолютно збіжним.

Для обчислення абсолютно збіжного інтеграла по області межі інтегралів можна визначати у будь-якій системі координат.

Якщо інтеграл по області абсолютно не збігається, то заміна змінних і переставлення порядку інтегрування потребують спеціального дослідження.

2. При дослідженні збіжності невластивих інтегралів по області часто застосовують порівняльні ознаки. Наприклад, якщо D є площиною, то для збіжності інтеграла істотно лише поведінка для великих , тому потрібно використовувати інтеграл , який збігається р > 2 і розбігається при р < 2.

Аналогічно в тривимірному просторі інтеграл від на нескінченності збігається лише при р > 3.

При досліджені невластивих інтегралів по області від функції, яка необмежена в ізольованій точці М ₀ області D часто використовують порівняння з інтегралами на площині та в просторі.

Перший із вказаних інтегралів збігається при р < 2, а другий – при р < 3.

Якщо особливості підінтегральної функції не ізольовані, то умову збіжності часто вдається одержати шляхом вибору такої системи координат, в якій координатні лінії проходять вздовж особливості.

 

 

1.Обчислити інтеграли:

а) ; б) ;

в) .