Дослідити на збіжність інтеграли.

 

9. .

 

Підінтегральна функція має на проміжку інтегрування особливу точку . Розглянемо .

Виберемо для порівняння функцію , інтеграл від якої збігається . Згідно з ознакою порівняння, заданий інтеграл також збігається.

 

10. .

 

Підінтегральна функція має особливу точку . Розглянемо .

Виберемо для порівняння функцію , інтеграл від якої розбігається . Знову застосовуючи ознаку порівняння, робимо висновок, що наш інтеграл також розбігається.

 

11. .

 

Маємо, що - особлива точка для підінтегральної функції.

Розглянемо і оберемо для порівняння функцію . Застосуємо граничну ознаку порівняння, а саме:

, а інтеграл збігається . Згідно граничній ознаці порівняння, так само збігається.

 

12. .

 

Підінтегральна функція має особливу точку . Дослідимо інтеграл на абсолютну збіжність:

. Маємо .

Порівняємо функцію правої частини нерівності із функцією , після чого застосуємо граничну ознаку порівняння:

.

Границя скінченна і дорівнює нулю. Оскільки інтеграл збігається , за граничною ознакою порівняння інтеграл також збігається. Тоді за ознакою порівняння збігається і інтеграл . Отже, на підставі третьої ознаки збіжності, вихідний інтеграл абсолютно збігається.

 

Завдання для самостійної роботи

Дослідити на збіжність (розбіжність) і обчислити інтеграли:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

Дослідити на збіжність інтеграли:

 

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

Розділ 3

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

ДО ЗАДАЧ ГЕОМЕТРІЇ

Обчислення площ плоских фігур

Визначений інтеграл від додатної неперервної функції , заданої на відрізку , чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції і прямими (рис. 3.1):

 

. (3.1)

В разі, коли на (рис.3.2)

 

. (3.2)

 

Рис. 3.2

y

	Рис. 3.1

 

 

Якщо функція на відрізку скінчене число разів змінює знак, то

.

Площу фігури, обмеженої кривими та і прямими за умови, що (рис.3.3) знаходять за формулою

 

. (3.3)

 

У випадку, коли фігура обмежена кривою та прямими (рис.3.4), її площу знаходять за формулою

. (3.4)

Якщо крива задана параметричними рівняннями , де - неперервні функції, що мають неперервні похідні на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, прямими та відрізком осі , визначається за формулою:

 

, (3.5)

де і - значення параметра , при яких .

 

Рис. 3.4

Рис. 3.3

 

У полярній системі координат площа криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою ,

та відповідними відрізками променів (рис. 3.5), дорівнює

 

. (3.6)

Рис. 3.5

 

Зразки розв’язування задач

Обчислити площі фігур, обмежених лініями.

 

1. .

 

Розв’язання

Побудуємо дані лінії і визначимо фігуру, площу якої треба знайти.

 

Площа визначається за формулою (3.1):

x = 0

кв. од.

 

2. .

 

Розв’язання

Зобразимо фігуру, площу якої шукаємо.

Тоді

кв. од.

 

 

3. .

 

Розв’язання

Фігура обмежена параболою і прямою .

Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо абсциси точок перетину ліній та :

, звідки .

 

 

Як бачимо, фігура симетрична відносно осі , тому обчислимо площу її правої половини, а загальний результат подвоємо.

Будемо мати: кв. од.

 

4. .

Розв’язання

Побудуємо дані лінії.

Фігура на відрізку обмежена зверху , знизу прямою . Її площу знайдемо за формулою (3.3):

 

кв. од.

 

 

5. .

 

Розв’язання

Побудуємо параболу . Приведемо рівняння до канонічного виду, виділивши повний квадрат:

.

Отже, парабола має вершину в точці і перетинає вісь в точках .

На відрізку функція має від’ємні значення. За формулою (3.2) шукана площа дорівнює:

кв. од.

 

6. .

 

Канонічний вид параболи :

тоді .

Парабола симетрична відносно прямої , має вершину .

Точки перетину з віссю :

, тоді

, звідки

, .

За формулою (3.4) знайдемо площу:

кв. од.

 

7. .

Розв’язання

Побудуємо дані гіперболу та пряму. Для знаходження абсцис точок перетину графіків розв’яжемо систему рівнянь:

, тоді , , , звідки .

Отже,

 

кв. од.

8. .

Розв’язання

Побудуємо дані лінії.

 

Точки перетину графіків:

, тоді , , звідки .

 

Як бачимо, фігура розташована у I чверті, тому оберемо . На відрізку фігура зверху обмежена спочатку графіком функції (якщо ), а потім графіком (якщо ). Тому площу всієї фігури знайдемо як суму двох площ, кожну з яких обчислимо за формулою (3.1).

А саме: ,

де кв. од., кв. од.

Отримаємо: кв. од.

 

Перейдемо до розглядання прикладів обчислення площ у параметричній системі координат для циклоїди та кардіоїди. Обидві ці криві мають механічне походження та описуються точкою кола радіуса , що котиться без ковзання по деякій лінії. Для циклоїди цією лінією буде пряма, а для кардіоїди – знов коло радіуса , що має із першим колом зовнішній дотик.

 

9. Знайти площу фігури обмеженої віссю та однією аркою циклоїди

.

 

Розв’язання

Поглянемо на вигляд цієї кривої.

 

 

Параметр буде змінюватися від до . Використавши формулу (3.5), маємо:

 

кв. од.

Таким чином, площа однієї арки циклоїди втричі більше площі кола, що котиться.

 

 

10. Знайти площу, обмежену кардіоїдою ,

.

 

Розв’язання

 

Наведемо вигляд цієї кривої.

Крива симетрична відносно осі . Обчислимо половину площі і подвоємо результат. Точкам та відповідають значення параметрів .

Для обчислення площі використаємо формулу (3.6).

 

Обчислимо : .

Тоді

 

.

Отримаємо: кв. од.

 

Тепер ознайомимося із цікавими кривими у полярній системі координат.

 

11. Обчислити площу, обмежену лемніскатою Бернуллі .

Розв’язання

Прослідкуємо, як змінюється кут , коли радіус-вектор точки на лемніскаті описує чверть шуканої площі.

При , . Визна-чимо, чому дорівнює кут , коли радіус-вектор дорівнюватиме . Підставляючи в рівняння кривої, отримаємо: , , , звідки .

Таким чином, на чверті площі полярний кут змінюється в межах від до . Тоді за формулою (3.6):

.

Вся площа кв. од.

 

 

12.Обчислити площу однієї пелюстки рози, яка задається рівнянням .

Зауваження. Зазначимо, що криві задані рівняннями (або ), де та - постійні величини, називаються розами. Якщо - парне число, то крива має - пелюсток, якщо - непарне число, то крива має - пелюсток.

Щоб знайти площу однієї пелюстки, визначимо, як змінюється полярний кут , коли радіус-вектор описує цю площу.

Нехай . Тоді , звідки .

При , при . Тобто кут змінюється від до .

Розв’язання

Повернемось до нашого прикладу: - 3-х пелюсткова роза.

Описуючи площу однієї пелюстки, радіус-вектор пробігає кут від до .

Тоді

кв. од.

 

13.Обчислити площу, обмежену петлею декартового листа, який визначається рівнянням .

Розв’язання

 

Для обчислення площі перейдемо до полярних координат, поклавши , .

Отримаємо: ,

,

.

Так як при заміні на , а на рівняння на змінюється, то крива симетрична відносно прямої . Тому шукану площу можна розглядати як подвоєну площу . При цьому радіус-вектор повертається від початкового положення на кут . Отже,

.

Винесемо в знаменнику за дужки:

.

 

 

Зробимо заміну , . Нові межі інтегрування: , .

Отже, .

Ще раз зробимо заміну , , , .

Тоді: .

 

Отримаємо: кв. од.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити площі фігур, обмежених лініями:

 

 

1. , ;

 

2. , , , ;

 

3. , ;

 

4. , , ;

 

5. , , ;

 

6.

7.

 

8. , ;

 

9. .