Обчислення довжини дуги плоскої кривої

Нехай крива задана рівнянням , , причому неперервна разом із своєю похідною на . Тоді довжина дуги кривої визначається формулою

. (3.7)

Вираз називається диференціалом дуги. В разі, коли крива задається рівнянням довжина дуги кривої обчислюється так:

. (3.8)

У разі параметричного задання кривої , довжина дуги дорівнює:

. (3.9)

Якщо ж гладка крива задана рівнянням в полярних координатах, то

. (3.10)

Зразки розв’язування задач

1. Знайти довжину кола.

 

Розв’язання

 

Візьмемо коло радіуса з центром в початку координат. Його рівняння .

 

Щоб використати формулу (3.7) знайдемо . Знак плюс відповідає верхній половині кола, знак мінус – нижній.

Знайдемо довжину чверті кола, що лежить в першій координатній чверті. Обчислимо вираз .

Маємо: , , тоді , тобто .

Абсциса точки кола в першій чверті змінюється від до . Тоді . Довжина кола .

Розв’яжемо цю ж задачу, якщо коло задано параметричними рівняннями:

.

Щоб застосувати формулу (3.9) обчислимо .

.

На всьому колі параметр змінюється від до . Тому

.

Ще більш простим буде розв’язування цієї задачі, якщо рівняння кола задати у полярних координатах. Покладемо , . Рівняння кола: , , тобто , звідки .

Полярна вісь співпадає з додатнім напрямком осі , а полярний кут , коли точка пробігає все коло, змінюється від до . За формулою (3.10):

 

2. Знайти довжину ланцюгової лінії між точками з абсцисами і .

 

Розв’язання

Знайдемо , тоді

.

Обчислимо: . За формулою (3.7): .

 

3. Знайти довжину дуги лінії від точки до .

 

Розв’язання

Застосуємо формулу (3.8):

, тоді

.

Отже,

.

(Модуль знято тому, що - кут першої чверті і ).

 

4. Обчислити довжину дуги кривої від точки до ().

 

Розв’язання

Застосуємо формулу (3.7): , .

Тоді .

Отримаємо:

.

 

5. Знайти довжину астроїди .

 

Розв’язання

Наведемо вигляд цієї кривої.

Користуючись симетрією, обчислимо довжину дуги, що розташована у першій чверті. Вона становитиме чверть від всієї довжини дуги.

З рівняння дістанемо: .

 

Піднесемо обидві частини рівності до степеня . Отримаємо: .

Тоді .

Обчислимо .

Маємо: .

Тоді .

 

 

6. Знайти довжину однієї арки циклоїди .

 

Розв’язання

 

Згадаємо приклад 9 попереднього параграфа: параметр кривої змінюється від до .

Застосуємо формулу (3.9): , .

Обчислимо

.

Тоді .

Тобто довжина однієї арки циклоїди у вісім разів більше радіуса кола, яке її утворює.

 

7. Знайти довжину дуги кривої , від до .

 

Розв’язання

Знайдемо : ,

.

Тоді

Тоді .

8. Визначити довжину всієї кривої Штейнера .

 

Розв’язання

Якщо , рухоме коло описує третину всієї кривої. Знайдемо :

,

.

Будемо мати:

 

.

Маємо: .

Отже, .

 

9. Знайти довжину кардіоїди .

 

Розв’язання

 

Наведемо вигляд цієї кривої.

Для використання формули (3.10) обчислимо та .

Маємо: , ,

тоді

.

У той час, коли точка на кардіоїді пробігає всю криву, її полярний кут змінюється від до .

 

.

 

10. Знайти довжину дуги кривої .

Розв’язання

Довжину дуги обчислимо за формулою (3.10). Для цього знайдемо диференціал дуги .

Маємо:

.

Тоді

.

Визначимо, як змінюється полярний кут, коли точка, що рухається по кривій, пробігає її всю. Нехай , тоді , звідки .

При , при .

Отже,

.

 

11. Знайти довжину дуги першого витка спіралі Архімеда .

 

Розв’язання

Обчислимо : , тоді

, де .

Тоді .

 

Обчислимо інтеграл:

=

.

Тобто отримали: , звідки

.

Маємо:

.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити довжини дуг ліній:

 

1. від до ;

2. , ;

3. , ;

 

4.

5.

 

6. , ;

7. , .

Обчислення об’ємів тіл обертання

Нехай функція - неперервна і додатна на відрізку .

Об’єм тіла, яке утворюється при обертанні навколо осі криволінійної

трапеції, обмеженої кривою та відрізками прямих (рис.3.6), дорівнює

. (3.11)

Якщо задані дві неперервні криві такі, що , при , то об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі плоскої фігури, обмеженої цими лініями та відрізками прямих (рис.3.7), обчислюється за формулою

 

. (3.12)

Рис. 3.6

Рис. 3.7

 

Рис. 3.6

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої неперервною кривою , прямою та відрізками прямих , (рис.3.8), дорівнює

. (3.13)

У разі параметричного задання кривої рівняннями , , об’єми утворених тіл обертання навколо осі або осі визначаються відповідно формулами:

, (3.14)

. (3.15)

 

Рис. 3.9

Нехай крива задана в полярній системі координат рівнянням , де - неперервна функція при . Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням навколо полярної осі плоскої фігури, обмеженої кривою та двома полярними радіусами і , які відповідають кутам та (рис.3.9), обчислюється за формулою

 

. (3.16)

Зразки розв’язування задач

1. Знайти об’єм кулі.

 

Розв’язання

 

Нехай куля утворена обертанням навколо осі кола . Звідки .

Для обчислення використаємо формулу (3.11), враховуючи, що .

 

 

 

Отже,

куб. од.

2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями , , , .

Розв’язання

Скористаємось формулою (3.12):

= куб. од.

 

3. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями та .

Розв’язання

 

Рівняння задає параболу з вершиною в точці , віссю симетрії якої є вісь .

Щоб знайти межі інтегрування, шукаємо ординати точок перетину ліній: , тоді , звідки , .

Зважаючи на симетрію тіла відносно осі , за формулою (3.13) маємо:

куб. од.

 

 

В завданнях 4 – 7 обчислити об’єми тіл, утворених обертанням навколо осі фігури, обмеженої заданими лініями.

 

 

4. , , .

 

Розв’язання

Знайдемо межі інтегрування: , тоді , тоді , звідки . При маємо .

 

 

За формулою (3.12):

куб. од.

5. , , .

 

Розв’язання

 

Зобразимо фігуру, при обертанні якої утворюється шукане тіло.

Знайдемо точки перетину графіків функцій та . , звідки , . Знайдемо .

Наша парабола перетинає вісь в точках та .

Так як на відрізках та фігура обмежена різними лініями, то об’єм тіла знайдемо як суму об’ємів , де

,

.

Тоді куб. од.

 

6. , , .

 

Розв’язання

РHjpdH

Побудуємо вітку параболи та пряму . Вони перетинаються в точці:

 

, .

Пряма перетинає вісь в точці .

Вітка параболи з віссю має спільну точку .

Знайдемо об’єм тіла як різницю між об’ємами - об’ємом тіла, утвореного обертанням гілки параболи, та - об’ємом конуса, утвореного обертанням прямої.

 

Маємо:

куб. од.

 

7.

 

Розв’язання

 

Для обчислення об’єму скористаємось формулою (3.14). Знайдемо . Тоді

куб. од.

 

 

8. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням однієї арки циклоїди .

 

Розв’язання

 

Знайдемо , .

Тоді

.

Обчислимо останній інтеграл:

.

Отже,

куб. од.

 

9. Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням кривої навколо полярної осі.

Розв’язання

 

Рівняння задає коло діаметра з центром у точці . Зрозуміло, що . Для обчислення об’єму використаємо формулу (3.16). Будемо мати:

куб. од.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити об’єми тіл, утворених обертанням плоских фігур навколо координатних осей:

 

1. , , , , ?

 

2. , , ?

 

3. , , ?

 

4. , , ?

 

5.

 

6. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо полярної осі .