Обчислення площі поверхні тіл обертання

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги гладкої кривої, заданої функцією , , обчислюється за формулою

. (3.17)

Якщо гладка крива задана рівнянням , , то площа поверхні, утвореної обертанням кривої навколо осі , може бути обчислена за формулою

 

. (3.18)

 

У разі параметричного задання кривої рівняннями , , , де функції , - неперервні разом із своїми похідними, відповідні площі поверхні обчислюються за формулами:

 

, (3.19)

. (3.20)

Площа поверхні, отриманої обертанням навколо полярної осі криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою та двома полярними радіусами , , визначається за формулою

 

. (3.21)

 

Зразки розв’язування задач

1. Знайти площу поверхні сфери, як тіла обертання.

 

Розв’язання

 

Нехай сфера утворена обертанням кола навколо осі . Знайдемо :

(верхня половина кола), тоді

.

Обчислимо , тоді

.

Отже, за формулою (3.17):

.

Площа поверхні сфери дорівнює .

 

 

2. Знайти бічну поверхню параболоїда, утвореного обертанням параболи навколо осі на відрізку .

Розв’язання

Якщо , то .

Так як вітки параболи симетричні відносно осі , будемо вважати, що тіло утворено обертанням верхньої вітки, рівняння якої . Отже, . Тоді .

 

 

Тепер .

Маємо:

кв. од.

3. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги синусоїди від до .

Розв’язання

Скористуємось формулою (3.17). Спочатку знайдемо

, тоді .

Отже,

.

Позначимо та обчислимо його частинами. Будемо мати:

.

Звідки , тому .

Повернемося до обчислення площі поверхні:

 

кв. од.

 

4. Знайти площу поверхні, отриманої обертанням прямої навколо осі від до .

Розв’язання

Виразимо : . Скористаємось формулою (3.18), для цього знайдемо , тоді .

 

Отримаємо: кв. од.

 

 

5. Обчислити поверхню тора, утвореного обертанням кола навколо осі .

Розв’язання

Поверхня тора дорівнює сумі поверхонь, утворених обертанням дуг та навколо осі . Щоб скористатися формулою (3.17), розв’яжемо рівняння кола відносно . Маємо: , звідки , .

 

 

Для дуги : , , .

Обчислимо , . Для дуги : , , .

Отже,

.

Відрізок інтегрування симетричний, тобто

кв. од.

 

6. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі кривої

Розв’язання

Застосуємо формулу (3.19), для цього знайдемо , . Обчислимо

.

Тоді отримаємо:

кв. од.

 

7. Знайти поверхню тіла, утвореного обертанням однієї арки циклоїди навколо осі .

Розв’язання

 

Використовуючи формулу (3.19), обчислимо спочатку , .

Тоді

.

Отже,

 

кв. од.

 

8. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням кардіоїди навколо полярної осі.

 

Розв’язання

Використаємо формулу (3.21), для цього знайдемо:

,

.

кв.од.

9. Обчислити площу поверхні тіла, утвореного обертанням лемніскати навколо полярної осі.

Розв’язання

Обчислимо половину шуканої площі поверхні, а саме:

. Знайдемо з рівняння .

 

 

Тоді .

Обчислимо

.

Тоді

.

кв. од.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити площі поверхонь тіл, утворених обертанням кривих навколо відповідної осі:

 

1. , , ?

 

2. , , ?

 

3. , , ?

 

4. , , ?

 

5. Знайти поверхню сфери, заданої в полярних координатах.

 

 

Л І Т Е Р А Т У Р А

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001.

2. Овчинников П.П. та інші. Вища математика: Підручник. У 2 ч. – К.: Техніка, 2004.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1998.

4. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика. У 3-х кн.. – К: Либідь, 1994.

5. Вища математика: Збірник задач: Навчальний посібник / За ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2004.

6. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 2002.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2000.

 

Навчальне видання

 

Кадильникова Тетяна Михайлівна

Шинковська Iрина Леонідівна

Заєць Iрина Петрівна

Запорожченко Олена Євгенівна

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина III

Навчальний посібник

 

 

Тем. план 2010, поз.251

 

 

Підписано до друку 27.10.2010. Формат 60x84 _1/16 Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид.арк. 4,94. Умов. друк. арк.4,88. Тираж 100 пр. Замовлення №.

 

Національна металургійна академія України

49600, м. Дніпропетровськ – 5, пр. Гагаріна, 4

____________________________________________

Редакційно-видавничий відділ НМетАУ