Означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми. Умови існування та властивості визначеного інтеграла

Нехай функція визначена на відрізку , < . Розіб’ємо відрізок на довільних частин так, щоб

 

< < …< < < <…< .

 

Сукупність точок назвемо -розбиттям відрізка на частини. Для кожного з частинних відрізків визначимо його довжину та значення функції у довільній точці . Позначимо через - найбільшу довжину серед довжин частинних відрізків, тобто . Утворимо суму , яка називається інтегральною сумою функції на відрізку .

 

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при умові, що найбільша із різниць прямує до нуля, яка не залежить ані від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, ані від вибору проміжних точок у кожному з частинних відрізків, то вона називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом . Отже, згідно з означенням,

 

.

 

Числа і називають відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; - підінтегральним виразом; - змінною інтегрування, а відрізок - проміжком інтегрування.

 

Означення 2. Функція , для якої на відрізку існує визначений інтеграл, називається інтегровною на цьому відрізку.

 

 

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що визначений інтеграл від невід’ємної та інтегровної на відрізку функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , відрізками прямих , та віссю :

 

Рис.1.1

Необхідною умовою існування визначеного інтеграла є обмеженість функції на відрізку .

Достатньою умовою існування визначеного інтеграла є неперервність функції на цьому ж відрізку.

 

Розглянемо деякі властивості визначеного інтеграла:

1) Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування:

.

 

2) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

 

3) Для будь-якого довільного сталого числа справджується рівність:

.

4) При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, тобто

.

 

5) Якщо функції і - інтегровні на відрізку , то функція також є інтегровною на цьому відрізку, причому

.

 

6) Якщо функція - інтегровна на найбільшому з відрізків , , , то вона інтегровна і в двох інших і для будь-якого взаємного розташування точок має місце рівність

.

 

7) Якщо функція - інтегровна на відрізку < і всюди на цьому відрізку , то

.

Аналогічно маємо, що , якщо .

 

8) Якщо функції і - інтегровні на < і всюди на цьому відрізку , то

.

 

9) Якщо функція - інтегровна на < , то функція також інтегровна на цьому відрізку, причому

.

 

10) Якщо функція - інтегровна на < та і - відповідно її найменше і найбільше значення на цьому відрізку, то справджуються нерівності

.

11) Якщо функція - неперервна на , то існує точка така, що виконується рівність:

.

 

Це ствердження має назву теореми про середнє значення визначеного інтеграла.

Обчислення визначених інтегралів

Формула Ньютона-Лейбніца

Для пошуку способу обчислення визначеного інтеграла встановимо зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами. Для цього розглянемо , де функція є неперервною на та інтегровною на ньому, - довільна фіксовна точка відрізка .

Цей інтеграл називають визначеним інтегралом із змінною верхньою межею. Очевидно, він є функцією від , тому позначимо його через .

Має місце наступна теорема Барроу:

Якщо функція - неперервна на , то функція - диференційовна на цьому відрізку, причому для усіх .

 

Тобто для всякої неперервної на функції завжди існує первісна, та однією з цих первісних є визначений інтеграл із змінною верхнею межею. Таким чином, встановлений зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами.

Ефективний і простий спосіб обчислення визначеного інтеграла дається формулою Ньютона-Лейбніца:

 

,

де - неперервна на , - яка-небудь її первісна.

 

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

 

Первісною від даної підінтегральної функції є . Обчислимо її значення при верхній границі , при нижній границі . За формулою Ньютона-Лейбніца значення інтегралу становить .

Розв’язування може бути подане у вигляді:

 

.

 

2. .

 

 

3.

.

 

 

4.

.

 

 

5.

.

 

6. .

 

Первісну можна знайти, використавши формулу пониження степеня: . Отримаємо:

 

.

 

7. .

 

Для знаходження первісної в знаменнику виділимо повний квадрат.

 

.

 

8. .

 

Знайдемо первісну функції. Для цього правильний дріб представимо у вигляді суми найпростіших дробів, а саме

 

.

 

Звільнившись від знаменника, маємо:

 

.

 

Отже, .

 

Тоді

.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;