Економічний зміст визначеного інтеграла

Нехай функція описує зміну продуктивності деякого виробництва з часом. Знайдемо обсяг продукції , виготовленої за проміжок часу .

Зазначимо, якщо продуктивність праці не змінюється з часом ( – постійна функція), то обсяг продукції , виготовлений за деякий проміжок часу , задається формулою . У загальному випадку справедлива наближена рівність , де , що виявляється тим точнішою, чим менше значення .

Розіб'ємо відрізок на проміжки часу точками . Для обсягу продукції , виготовленої за проміжок часу , маємо

, де , , .

Тоді

.

Звідки

.

Отже, якщо – продуктивність праці в момент часу , то – обсяг продукції, що випускається, за проміжок , а – обсяг продукції, що випускається, за проміжок .

 

 

Властивості визначеного інтеграла

Основні властивості визначених інтегралів наступні.

1) Значення визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування, тобто

.

Це твердження безпосередньо випливає з означення інтеграла як числа, рівного границі інтегральних сум.

У випадку невід’ємної підінтегральної функції це особливо очевидно, тому що площа відповідної криволінійної трапеції не залежить від позначення осі абсцис.

2) Визначений інтеграл змінює знак при перестановці меж інтегрування, тобто

.

Нехай . Тоді при складанні інтегральних сум, різниці додатні для лівої частини рівності і від'ємні для правої частини рівності, що і пояснює властивість.

3) Інтеграл від диференціалу змінної дорівнює: .

Дійсно, тут і

4) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю, тобто .

5) Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів цих функцій, тобто

Справді, за означенням

6) Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто

Доведення цієї властивості аналогічне до доведення властивості 5.

7) Якщо відрізок розбитий точкою на дві частини і , то

.

8) Якщо в кожній точці відрізка , то .

Справді, будь-яка інтегральна сума для функції на відрізку невід'ємна, тому що і . Отже, .

Наслідок. Якщо функція парна, то .

Якщо ж функція непарна, то .

9) Якщо в кожній точці відрізка то

.

Дійсно, , оскільки

10) Якщо функція неперервна на відрізку і – найменше значення функції, – найбільше значення функції, тобто , то

.

Справді, на підставі властивості 9:

;

.

Звідки .

Ця властивість може бути використана для оцінки величини визначеного інтеграла.

Теорема про середнє значення інтегралу.

Якщо функція неперервна на відрізку , то в середині відрізка знайдеться така точка , що або

. (5.29)

На підставі властивості 10 , звідки . Нехай , тоді одержуємо . За властивістю функцій, неперервних на відрізку знайдеться така точка в середині відрізка , що .

Отже, .

Рис. 5.2.

Цікавий геометричний зміст цієї теореми.

Якщо функція неперервна на відрізку , то всередині відрізка можна вказати таку точку , що площа криволінійної трапеції буде дорівнювати площі прямокутника з тією ж основою і висотою (рис. 5.2).

 

Формула Ньютона–Лейбніца

Нехай дано неперервну функцію , яку будемо інтегрувати. Нижню границю інтегрування будемо вважати зафіксованою, а верхню границю будемо вважати довільною, змінною. Тоді результат інтегрування буде залежати від і його позначимо . Виходячи з геометричного змісту інтеграла – площа трапеції, в якої права бічна сторона не зафіксована, переміщується уздовж вісі (рис. 5.3). Можна записати, що .

Щоб не плутати змінну інтегрування з верхньою межею, далі будемо записувати у вигляді , що справедливо на підставі властивості 1 визначеного інтеграла.

Доведемо, що функція є первісною для підінтегральної функції , тобто : похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею за верхньою межею дорівнює значенню підінтегральної функції у верхній межі інтегрування.

Рис. 5.3.

Знайдемо , де – площа криволінійної трапеції з основою (рис. 5.3), тобто . Застосовуючи до останнього інтеграла теорему про середнє значення інтегралу, одержимо: . Тоді , що й було потрібно довести.

Бачимо, що неперервна функція завжди має первісну, щоб її одержати, треба знати визначений інтеграл від заданої функції при фіксованій нижній межі і розглянути його як функцію від верхньої межі. Отже, справедлива рівність, що характеризує зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів:

, (5.30)

де – довільна стала.

Отже, функція, неперервна на відрізку має на цьому відрізку первісні, причому однією з них є функція .

Нехай – будь-яка первісна для функції на тому ж відрізку . Оскільки первісні і відрізняються сталим доданком, то справедлива рівність

, (5.31)

де – довільна стала.

Підставляючи в (5.31) значення , одержуємо або . Звідки . Таким чином для всіх відрізка маємо:

.

Підставляючи замість значення , одержуємо:

. (5.32)

Формула (5.32) називається формулою Ньютона–Лейбніца. Різницю прийнято умовно записувати у вигляді: , тому, при обчисленні визначеного інтеграла запис оформлюють так:

.

На підставі формули Ньютона–Лейбніца можна стверджувати, що визначений інтеграл дорівнює приросту первісної на відрізку. Це твердження часто зустрічається як означення визначеного інтеграла.

Зазначимо, що при обчисленні визначеного інтеграла за формулою Ньютона–Лейбніца можна брати будь-яку первісну, тому що

.

Приклад 5.29. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Оскільки однією з первісних функцій є функція , то

.