Локальний екстремум функції багатьох змінних

Будемо говорити, що функція має в точці локальний максимум (мінімум), якщо знайдеться такий –окіл точки , в межах якого є найбільшим (найменшим) серед усіх значень цієї функції. Максимум і мінімум функції називають екстремумами функції.

Сформулюємо необхідну умову екстремуму.

Якщо функція має екстремум у точці , то частинні похідні першого порядку цієї функції обертаються в точці екстремуму в нуль, чи не існують.

Точки, в яких перші частинні похідні функції дорівнюють нулю чи не існують, називають критичними точками цієї функції.

Екстремум функції може бути лише в критичних точках, тобто якщо функція не має критичних точок, то вона не має екстремуму. З існування критичних точок ще не випливає існування екстремумів, тобто необхідна умова екстремуму не є достатньою.

Сформулюємо достатню умову екстремуму.

Якщо другий диференціал в критичній точці являє собою додатньо визначену квадратичну форму, то в критичній точці локальний мінімум. Якщо квадратична форма від’ємно визначена, то в критичній точці локальний максимум. Якщо квадратична форма знакозмінна, то в критичній точці локального екстремуму немає.

Зауважимо, що визначати вигляд квадратичної форми можна безпосередньо, а можна використовувати критерій Сильвестра.

Нехай ми маємо квадратичну форму відносно змінних , тобто многочлен другого степеня відносно змінних : , яка визначена своєю матрицею:

.

Тоді в відповідності до критерію Сильвестра квадратичну форму вважають додатньо визначеною, якщо усі головні мінори матриці додатні.

Розглянемо випадок функції двох змінних. Обчислимо значення змішаних похідних другого порядку функції в критичній точці і позначимо , , .

Складемо вираз . Якщо в критичній точці , , то функція має екстремум у точці : мінімум при і максимум при . Якщо в критичній точці , то в точці екстремуму немає.

Якщо ж у критичній точці , то екстремум може бути, а може і не бути, потрібні додаткові дослідження.

Приклад 4.6. Дослідити на екстремум функцію .

Розв’язання. Для даної функції , . Знайдемо критичні точки функції, розв’язавши систему рівнянь

Одержимо три критичні точки: , , .

Обчислимо другі частинні похідні функції: , , .

Для точки , , . Тоді .

Достатня умова не дає відповіді на питання про існування екстремуму в точці . Дослідимо поведінку функції навколо точки. Наприклад, в околі точки на прямій функція набуває вигляду і є від'ємною. На прямій функція набуває вигляду і також є від'ємною. На прямій функція набуває вигляду і є додатною. Отже, в околі точки не виконується визначення ні мінімуму, ні максимуму, отже, в точці екстремуму немає.

Для точки , , , отже, екстремум є. Оскільки , то це мінімум: .

Аналогічно переконуємося в тому, що в точці функція також має мінімум: .

 

Неявно задані функції

Означення 4.14. Якщо змінна , яка є функцією аргументів задається за допомогою рівняння , то говорять, що функція задана неявно.

Наприклад, .

Розглянемо функцію , задану рівнянням

(4.10)

Продиференцюємо рівняння (4.10) по змінній та :

,

З останніх рівностей одержимо формули:

, .

Аналогічно можна ввести поняття частинних похідних другого, третього, будь-якого порядку.

Іноді неявні функції визначають системою функціональних рівнянь. Нехай функції знаходять як розв’язки системи рівнянь:

(4.11)

Розглянемо визначник:

.

Цей визначник називають визначником Якобі або якобіаном функцій по змінним .

Продиференцюємо рівняння системи (4.11) по змінній :

Цю систему можна розв’язати відносно змінних ,..., по формулам Крамера. Одержимо формули для знаходження частинних похідних:

.

 

Умовний екстремум

Розглянемо функцію

. (4.12)

Нехай виконуються умови:

(4.13)

Дослідження функції (4.12) на екстремум при виконанні умов (4.13) називають задачею на умовний екстремум.

Існує декілька шляхів розв’язання цієї задачі. Розглянемо метод Лагранжа.

Побудуємо допоміжну функцію

,

де – поки що невідомі множники Лагранжа. Будемо досліджувати побудовану функцію на локальний екстремум.

Приклад 4.7. Знайти умовний екстремум функції при умові: .

Розв’язання. Побудуємо функцію Лагранжа:

.

Дослідимо цю функцію на екстремум. Запишемо необхідну умову екстремуму та знайдемо стаціонарні точки з системи:

Стаціонарними точками будуть: при , при . Знайдемо другий диференціал в стаціонарних точках за формулою:

.

Для точки :

.

Знак другого диференціалу невизначений, тобто в цій точці немає ні максимуму ні мінімуму.

Для точки : .

Оскільки , то . Тоді одержимо:

, тобто в цій точці максимум.