Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).

Для цього візьмемо криву пропозиції будь-якого товару . Графік цієї кривої і точка рівноваги (перетину з кривою попиту) дані на рис. 5.22

 

 

Рис. 5.22.

 

Так само, як деякі споживачі, завдяки дії ринкових сил, отримують можливість придбати товар за ціною нижче тієї, яку вони готові були заплатити, так і виробники іноді отримують можливість постачати товар на ринок за більш високою ціною, чим та, на яку вони згодні. Дійсно, крива пропозиції дає різні ціни, за якими виробники готові постачати на ринок відповідну кількість товарів. Так, за ціною (рис. 5.22) буде надано кількість товару . Припускаючи, що весь товар буде реалізований за ціною , легко знайти доход

.

З іншого боку, кількість товару, яка менше чим , виробники постачали б, згідно з кривою пропозиції, за більш низькою ціною, чим . Вказана на рис. 5.22 область є додатковою вигодою виробника, яка позначається . Для обчислення площі цієї області, очевидно можна написати

.

Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.

Нагадаємо, що чисті інвестиції (капіталовкладення) – це загальні інвестиції, які здійснюються в економіці протягом визначеного часу (частіше всього – року), без урахування інвестицій на відшкодування основних фондів (капіталу), що виходять з ладу. Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на величину чистих інвестицій.

Якщо капітал позначити як функцію часу , а чисті інвестиції – , сказане вище можна записати у вигляді

,

тобто це похідна від капіталу за часом .

Часто потрібно визначити приріст капіталу за період часу з моменту часу до , тобто величину

.

Зауважимо, що є первісною для функції , і згадаємо формулу, що пов’язує первісну з визначеним інтегралом, тоді можна написати:

.

Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.

У цьому випадку платежі залежать від часу, тобто є функцією від , яку можна записати як .

Потрібно визначити розмір вкладу через років. Для розв’язання розіб’ємо років на рівних проміжків часу , як показано на рис. 5.23.

 

 

Рис. 5.23.

 

Якщо надходження неперервні, то протягом малого проміжку часу їх можна вважати сталими, а їх розмір від моменту часу до приблизно становитиме

.

За час нарощувана сума, обчислена за формулою неперервних відсотків, за рахунок нарахування відсотків на внесок буде рівною

.

Щоб отримати загальний розмір вкладу через років, достатньо додати усі “малі вклади”, тобто

.

Ця наближена рівність стане точною, якщо проміжок часу буде як завгодно малим. У цьому випадку сума, яка стоїть у правій частині, перетворюється на визначений інтеграл. Таким чином, формула має вигляд

.

Раніше розглядали поняття дисконту, пов’язане для неперервних відсотків з формулою

.

Задача ануїтету в цьому випадку може бути сформульована так: знайти розмір початкового вкладу , якщо регулярні виплати за цим вкладом повинні становити щорічно протягом років.

Розрахункова формула (її виведення аналогічне ануїтету з платежами) така:

,

де – неперервна процентна ставка.

Наведемо декілька прикладів економічного змісту.

Приклад 5.43. Відомо, що чисельність населення визначається за формулою , де – число мешканців у початковий момент часу; – коефіцієнт; – число років. Відомо також, що споживання населенням за одиницю часу деякого продукту пропорційне числу мешканців. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює , тоді функція "споживання" буде мати вигляд .

Знайти необхідну кількість продукту для населення на проміжок часу .

Розв’язання. У малий проміжок часу кількість мешканців будемо вважати постійною, отже, на цей проміжок часу буде потрібна така кількість продукту:

.

Проінтегрувавши цю рівність на проміжку , одержимо кількість продукту , необхідну для населення на весь проміжок часу:

.

Приклад 5.44. Відомо, що продуктивність праці робітника (кількість продукту, виготовленої за одиницю часу) протягом робочого дня змінюється. Нехай встановлена залежність між продуктивністю праці та часом, що виражається формулою , де – час у годинах, а – продуктивність праці, що є функцією від часу. Визначити обсяг продукції, виготовленої робітником за останні дві години робочої зміни, тривалість якої годин.

Розв’язання. У малий проміжок часу, будемо вважати продуктивність праці постійною. Елементарна робота за час буде . Звідси одержимо обсяг продукції, виготовленої робітником за останні дві години робочої зміни

.

Приклад 5.45. Визначити обсяг продукції, виготовленої робітником за другу годину робочого дня, якщо продуктивність праці характеризується функцією .

Розв’язання. Шуканий обсяг визначається за формулою

.

У нашому випадку

Приклад 5.46. Чисті інвестиції задані функцією

.

Визначити:

а) приріст капіталу за три роки;

б) через скільки років приріст капіталу ставитиме 50 000.

Розв’язання. а) Скористаємося формулою для обчислення , поклавши , :

б) Позначимо шуканий відрізок часу через , тоді

.

Підставимо і

;

;

; ; (року).

Нехай відомо функцію , що описує зміну витрат часу на виготовлення виробу залежно від степеня освоєння виробництва, де – порядковий номер виробу в партії. Тоді середній час витрачений на виготовлення одного виробу в період освоєння від до виробів, обчислюється за теоремою про середнє:

.

Щодо функції зміни витрат часу на виготовлення виробів , то часто вона має вигляд , де – витрати часу на виріб; – показник виробничого процесу.

Приклад 5.47. Знайти середній час, витрачений на освоєння одного виробу в період освоєння від до виробів, якщо функція зміни витрат часу на виготовлення виробів , де (хв), .

Розв’язання. Маємо

Приклад 5.48. Знайти середнє значення витрат , виражених у грошових одиницях, якщо обсяг продукції змінюється від 0 до 3 одиниць. Вказати обсяг продукції, при якому витрати приймають середнє значення.

Розв’язання. Відповідно до теореми про середнє значення

.

У нашому випадку

тобто середнє значення витрат дорівнює 16.

Визначимо, при якому обсязі продукції витрати приймають це значення, тобто розв’яжемо рівняння

або .

Враховуючи те, що обсяг продукції не може бути від'ємним, з останнього рівняння маємо

,

тобто одиниць продукції.

При визначенні економічної ефективності капітальних вкладень зустрічаються задачі визначення початкової суми за її кінцевим значенням, отриманим через час (років) при річному відсотку (процентній ставці) . Цей процес, як відомо, називається дисконтуванням.

Нехай – кінцева сума, отримана за років і – дисконтована (початкова) сума, яку у фінансовому аналізі називають також сучасною сумою. Якщо відсотки прості, то , де – питома процентна ставка. Тоді . У випадку складних відсотків і тому . У випадку неперервного нарахування відсотків і тому .

Нехай доход, який надходить щорічно, змінюється в часі й описується функцією і при питомій нормі відсотка, рівній відсоток нараховується неперервно. Можна показати, що в цьому випадку дисконтований прибуток за період обчислюється за формулою

.

 

Вправи

5.1–5.7. Використовуючи таблицю і властивості знайти невизначені інтеграли.

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .

5.5. . 5.6. .

5.7. .

5.8–5.19. Знайти інтеграли.

5.8. . 5.9. .

5.10. . 5.11. .

5.12. . 5.13. .

5.14. . 5.15. .

5.16. . 5.17. .

5.18. . 5.19. .

5.20–5.31. Знайти інтеграли, застосовуючи метод інтегрування частинами.

5.20. . 5.21. .

5.22. . 5.23. .

5.24. . 5.25. .

5.26. . 5.27. .

5.28. . 5.29. .

5.30. . 5.31. .

5.32–5.40. Знайти інтеграл від дробу, у знаменнику якого квадратний тричлен.

5.32. . 5.33. .

5.34. . 5.35. .

5.36. . 5.37. .

5.39. . 5.40. .

5.41–5.49. Знайти інтеграли від раціональних дробів.

5.41. . 5.42. .

5.43. . 5.44. .

5.45. . 5.46. .

5.47. . 5.48. .

5.49. .

5.50–5.55. Знайти інтеграли від тригонометричних функцій.

5.50. . 5.51. .

5.52. . 5.53. .

5.54. . 5.55. .

5.56–5.60. Знайти інтеграли від ірраціональних функцій.

5.56. . 5.57. .

5.58. . 5.59. .

5.60. .

5.61–5.67. Застосовуючи формулу Ньютона–Лейбніца, обчислити інтеграли.

5.61. . 5.62. .

5.63. . 5.64. .

5.65. . 5.66. .

5.67. .

5.68–5.73. Застосовуючи заміну змінної, обчислити інтеграли.

5.68. . 5.69. .

5.70. . 5.71. .

5.72. . 5.73. .

5.74–5.76. Застосовуючи формулу інтегрування частинами обчислити визначені інтеграли.

5.74. . 5.75. . 5.76. .

5.77–5.81. Обчислити невласні інтеграли

5.77. . 5.78. . 5.79. .

5.80. . 5.81. .

5.82. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і віссю .

5.83. Обчислити площу фігури, обмеженої прямою , параболою і віссю .

5.84. Знайти площу фігури, що розташована між лініями , , .

5.85. Знайти площу фігури, що розташована між кривими і .

5.86. Знайти площу фігури, що обмежена кривою , віссю і прямою .

5.87. Знайти площу фігури, що обмежена віссю і однією аркою циклоїди , .

5.88. Знайти площу фігури, що обмежена астроїдою, заданою рівняннями

5.89. Обчислити площу фігури, що обмежена лемніскатою Бернуллі, заданою рівнянням .

5.90. Обчислити площу однієї пелюстки трипелюсткової троянди .

5.91. Обчислити довжину дуг кривих:

а) від до ;

б) (астроїда).

5.92. Знайти довжину однієї арки циклоїди (розташованої між двома нулями функції): , .

5.93. Обчислити довжину лінії, заданої в полярній системі координат:

а) ; б) .

5.94. Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо вісі однієї напівхвилі синусоїди .

5.95. Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо вісі плоскої фігури, обмеженої лініями , .

5.96. Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої лініями , .

5.97. Визначити дисконтований прибуток за три роки при процентній ставці 8%, якщо первісні (базові) капіталовкладення становили 10 млрд грош. од. і намічається щорічно збільшувати капіталовкладення на 1 млрд грош. од.

5.98. За даними досліджень у розподілі доходів в одній із країн, крива Лоренца може бути описана рівнянням , де – частка населення, – частка прибутків населення. Обчислити коефіцієнт Джині.

5.99. Знайти середнє значення витрат , виражених у грошових одиницях, якщо обсяг продукції змінюється від 0 до 3 од. Вказати обсяг продукції, при якому витрати приймають середнє значення.

5.100. Продуктивність праці протягом робочого дня змінюється. Нехай функція продуктивності праці має вигляд (деталей/рік). Скільки деталей зробить робітник за весь час роботи? (Тут – відрізок часу від початку робочого дня).

5.101. Через якийсь час після початку роботи продуктивність праці перестає рости і стає приблизно сталою. Визначити, скільки деталей зробить робітник за восьмигодинну зміну, якщо за перші дві години роботи продуктивність росте за законом . Наступні чотири години продуктивність праці залишається сталою, рівною досягнутій до кінця другої години роботи, а останні дві години зменшується за законом , де – продуктивність праці наприкінці шостої години роботи. Визначити середню продуктивність праці за зміну.

5.102. Знайти середнє значення витрат, якщо функція витрат задана рівнянням ( – обсяг виробництва), а обсяг випуску продукції змінюється від 1 до 4,5. Вказати обсяг продукції, при якому витрати приймають середнє значення.

5.103. Визначити дисконтований (початковий) обсяг прибутку, отриманого за 10 років, якщо щорічно прибуток дорівнює 100 тис. грош. од., процентна ставка – 5%. Відсотки нараховуються неперервно.

5.104. Витрата електроенергії, виробленої на електростанції, у період часу , відрахованого від початку доби, змінюється за формулою , де – навантаження на електростанцію, кВт/год; – кількість годин роботи на електростанції, відрахованих від початку доби.

Визначити витрату електроенергії:

а) за одну годину роботи, якщо ;

б) за десяту годину роботи, якщо ;

в) за п'яту годину роботи, якщо .

5.105. Визначити кількість тракторів, випущених за п'ять років, якщо річний випуск зростав в арифметичній прогресії: , де – час, років.

5.106. Функція граничного прибутку задається формулою , де – кількість проданих одиниць товару. Визначити загальний прибуток від продажу 300 одиниць товару.