Інтегрування трансцендентних функцій.

Інтеграли виду

(5.15)

де раціональна функція змінних і завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановки (її називають універсальною тригонометричною підстановкою)

(5.16)

Ця підстановка перетворює інтеграл (5.16) до виду

(5.17)

Помітимо, що підстановка (5.16) часто призводить до громіздких викладок, тому її використовують тоді, коли не знайдено інших шляхів інтегрування.

Якщо підінтегральна функція має одну із властивостей

1)

2)

3)

то для обчислення інтегралу зручно використовувати підстановки

1) 2)

3)

Приклад 5.27. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Тут тому, поклавши одержимо

Інтеграли виду

(5.18)

де раціональна функція змінних і , завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій з допомогою підстановки Іноді зручно використовувати підстановки

Інтеграли виду

(5.19)

підстановками або і відповідно або завжди можна звести до інтегралів від диференціального бінома.

Зауважимо, що при досить великих степенях зручно застосовувати формули зниження (одержані інтегруванням частинами):

Інтеграли виду

(5.20)

обчислюються після перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму за допомогою формул тригонометрії:

;

;

.

Приклад 5.28. Обчислити .

Розв’язання. Використаємо тригонометричні формули:

Тоді

Інтеграли виду

(5.21)

де многочлен степеня а одна з наступних функцій: обчислюються за допомогою багатократного інтегрування частинами.

Зауважимо, що має місце формула Ейлера

яку можна використати для контролю при обчисленні відповідних інтегралів.

Інтеграли від трансцендентних функцій часто не виражаються через елементарні функції. До таких інтегралів відносяться, наприклад, такі, які часто зустрічаються:

; ; (5.22)

(5.23)

Первісні (5.22), які при перетворюються в нуль, позначаються відповідно (інтегральний синус) та (інтеграл ймовірностей). Первісна (5.23), яка прямує до нуля при позначається та називається інтегральним логарифмом.

 

Поняття визначеного інтегралу

Нехай функція визначена на сегменті і довільне розбиття цього сегменту на частин. Позначимо Виберемо на кожному із сегментів точку і складемо вираз

(5.24)

який назвемо інтегральною сумою.

Означення 5.3. Якщо існує скінчена границя яка не залежить від способу розбиття сегмента і вибору точок то число називають означеним інтегралом функції на сегменті і позначають

(5.25)

функцію називають інтегрованою по Ріману на сегменті .

Означення 5.4. Нижньою та верхньою сумами Дарбу функції на сегменті при фіксованому розбитті цього сегмента, називають відповідно суми

(5.26)

де

Теорема 5.2. Для того, щоб функція була інтегрованою на сегменті необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(5.27)

де коливання функції на сегменті .

Зокрема неперервна функція, кусочно-неперервна функція і монотонна на сегменті інтегровані на ньому.

 

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Нехай у площині дана фігура, обмежена відрізком вісі , прямими , і кривою , де – неперервна, невід’ємна на відрізку функція (рис. 5.1). Будемо називати таку фігуру криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу цієї трапеції.

Рис. 5.1.

Розіб'ємо відрізок на частин довільними точками . Через точки поділу проведемо прямі , , …, , …, , розбиваючи криволінійну трапецію на криволінійних трапецій. Виберемо на кожному з відрізків довільну точку і побудуємо прямокутники з основою і висотою . Площу кожної трапеції з основою обчислимо наближено, як площу прямокутника з такою же основою і висотою : .

Площу криволінійної трапеції з основою обчислимо наближено як площу східчастої фігури, складеної з прямокутників із основами , одержимо

За площу криволінійної трапеції природно прийняти границю, до якої прагнуть площі побудованих зазначеним способом східчастих фігур при наближенні до нуля відрізків , що можливо при необмеженому збільшенні їхнього числа, тобто

. (5.28)

Виходячи з формули (5.28) та означення визначеного інтегралу можна стверджувати, що дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої відрізком вісі , прямими , і кривою .