Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних

Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних

Основні поняття

У багатьох практичних задачах доводиться користатися величинами, що залежать не від однієї незалежної змінної, а від декількох змінних.

Означення 4.1. – вимірним координатним простором називається множина усіляких впорядкованих сукупностей , де . Кожну таку сукупність будемо називати точкою – вимірного координатного простору, тобто , де – координати точки .

Означення 4.2. Координатний простір називається – вимірним евклідовим простором , якщо між двома будь-якими точками та визначена відстань:

.

Означення 4.3. Нехай кожному числу ставиться в відповідність точка , тоді ряд точок , ,..., ,..., називається послідовністю точок . Послідовність точок позначають .

Означення 4.4. Якщо кожній точці з множини точок ставиться в відповідність за певним законом деяке число , то кажуть, що на множині задано функцію або . При цьому множину називають областю задання функції.

Той факт, що змінна є функцією змінних записують у вигляді

(4.1)

для явного завдання функції, і

(4.2)

для неявного завдання функції.

Приклад 4.1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) .

Розв’язання. Для випадку а) функція визначена для всіх значень , , при яких дріб існує. Очевидно, що це ті і , при яких . Отже, область визначення даної функції зображується точками площини , що не належать прямій (рис.4.1).

Для випадку б) функція визначена при або . Графічно область визначення даної функції зображується точками круга (рис.4.2).

 

Рис. 4.1.	Рис. 4.2.

 

Означення 4.5. Лінією рівня функції називається множина усіх точок, в яких функція набуває стале значення.

Рівняння лінії рівня має вигляд

, . (4.3)

Надаючи в цьому рівнянні різні значення сталої , будемо одержувати різні лінії рівня.

Для функції лініями рівня є концентричні кола , (рис.4.3). При коло вироджується в точку.

Для функції лініями рівня будуть прямі , (рис.4.4).

 

Рис. 4.3.	Рис. 4.4.

Лінії рівня використовуються при складанні географічних карт (лінії рівня – лінії, в яких висота точок земної поверхні над рівнем моря однакова), при складанні метеорологічних карт (лінії рівня – ізобари, ізотерми, ізохори) і т.д.

 

Границя і неперервність

Для визначення границі функції введемо поняття околу точки .

Означення 4.6. –околом точки будемо називати множину точок, віддалених від точки на відстань, що менше числа , тобто .

Означення 4.7. Число називається границею функції при , якщо для кожного, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа знайдеться такий -окіл точки , що для будь-якої точки з цього околу виконується нерівність .

Позначають або .

Усі теореми про границі, доведені для функції однієї змінної поширюються і на функції багатьох змінних.

Наприклад, , .

Зауважимо, що слід розрізняти –кратні границі і повторні границі, тобто

і .

Означення 4.8. Функція називається неперервною в точці , якщо виконується рівність , тобто значення неперервної функції в точці і її границя при збігаються.

На випадок функції багатьох змінних переносять властивості неперервних функцій однієї змінної: сума, різниця, добуток неперервних у точці функцій неперервні; частка двох неперервних у точці функцій неперервна, якщо .

Аналогічно узагальнюється властивість неперервності складної функції.

Функція , неперервна в кожній точці деякої області , називається неперервною в цій області.

При вивченні функції однієї змінної розглядалися основні властивості функцій, неперервних на відрізку. Ці властивості можна узагальнити на випадок функції багатьох змінних.

До основних властивостей функції, неперервної в замкнутій обмеженій області , віднесемо такі властивості.

1. Функція обмежена в області .

2. Функція досягає свого найменшого і найбільшого значень.

3. Функція набуває хоча б в одній точці області будь-яке значення, що лежить між і .

 

Частинні похідні функції

Нехай у деякій області задана функція . У деякій точці , що належить області , її значення . Дамо аргументу приріст , не змінюючи інші змінні. Функція одержить приріст

,

який називається частинним приростом функції по змінній .

Означення 4.9. Частинною похідною по від функції в точці називається границя відношення частинного приросту функції за аргументом до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто

.

Позначається частинна похідна по так: , , , .

З означення частинних похідних випливає, що частинна похідна по будь-якій змінній є звичайною похідною цієї функції по обраній змінній, за умови, що інші змінні є сталими.

Тому обчислення частинних похідних не вимагає нових формул і правил диференціювання, крім тих, які відомі з диференціального числення функції однієї змінної.

Наприклад, для функції частинні похідні мають вигляд:

; .

 

Повний диференціал

Розглянемо неперервну функцію . Дамо аргументам приріст. При цьому функція також одержить приріст, який назвемо повним приростом функції:

, або

Означення 4.10. Повним диференціалом функції двох змінних називається головна частина її приросту і позначається

. (4.4)

Диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту, тобто . Тоді

. (4.5)

Можна стверджувати, що

. (4.6)

Цю формулу застосовують у наближених обчисленнях, заміняючи приріст функції її диференціалом.

Приклад 4.2. Обчислити наближено .

Розв’язання. Для функції , , ; ; ; ; . Тоді:

.

Підставляючи значення, одержуємо

.

На підставі формули (4.6) у наближених обчисленнях оцінюють похибки обчислень.

Приклад 4.3. При вимірі циліндра були отримані результати: , . З якою абсолютною і відносною похибками може бути обчислений об'єм?

Розв’язання. Об'єм циліндра обчислюється за формулою . За умовою задачі , . Отже, похибки змінних: , . Знайдемо частинні похідні й і їхні значення при , :

.

Обчислюємо максимальну абсолютну похибку:

.

Відносну похибку результату, :

.

 

Неявно задані функції

Означення 4.14. Якщо змінна , яка є функцією аргументів задається за допомогою рівняння , то говорять, що функція задана неявно.

Наприклад, .

Розглянемо функцію , задану рівнянням

(4.10)

Продиференцюємо рівняння (4.10) по змінній та :

,

З останніх рівностей одержимо формули:

, .

Аналогічно можна ввести поняття частинних похідних другого, третього, будь-якого порядку.

Іноді неявні функції визначають системою функціональних рівнянь. Нехай функції знаходять як розв’язки системи рівнянь:

(4.11)

Розглянемо визначник:

.

Цей визначник називають визначником Якобі або якобіаном функцій по змінним .

Продиференцюємо рівняння системи (4.11) по змінній :

Цю систему можна розв’язати відносно змінних ,..., по формулам Крамера. Одержимо формули для знаходження частинних похідних:

.

 

Умовний екстремум

Розглянемо функцію

. (4.12)

Нехай виконуються умови:

(4.13)

Дослідження функції (4.12) на екстремум при виконанні умов (4.13) називають задачею на умовний екстремум.

Існує декілька шляхів розв’язання цієї задачі. Розглянемо метод Лагранжа.

Побудуємо допоміжну функцію

,

де – поки що невідомі множники Лагранжа. Будемо досліджувати побудовану функцію на локальний екстремум.

Приклад 4.7. Знайти умовний екстремум функції при умові: .

Розв’язання. Побудуємо функцію Лагранжа:

.

Дослідимо цю функцію на екстремум. Запишемо необхідну умову екстремуму та знайдемо стаціонарні точки з системи:

Стаціонарними точками будуть: при , при . Знайдемо другий диференціал в стаціонарних точках за формулою:

.

Для точки :

.

Знак другого диференціалу невизначений, тобто в цій точці немає ні максимуму ні мінімуму.

Для точки : .

Оскільки , то . Тоді одержимо:

, тобто в цій точці максимум.

 

Метод найменших квадратів

Часто при розв'язку практичних задач функціональна залежність між змінними задається у вигляді таблиці:

 

xi	x1	x2	...	xn
yi	y1	y2	...	yn

 

Для аналізу отриманого розв'язку зручно підібрати функцію, яка відповідала б таблиці експериментальних даних і якою можна було б скористатися для одержання значень функції.

Зобразивши точки на координатній площині, можна зробити висновок про вигляд функції .

Так, якщо точки таблиці групуються біля деякої прямої, цю функцію можна шукати у вигляді лінійної функції .

Якщо ж точки розташовуються біля деякої параболи, то природно шукати функцію у вигляді квадратичної функції і т.д.

Якщо є вигляд функції, то залишається підібрати такі її коефіцієнти, при яких функція найкраще відповідала б таблиці.

Підбор значень коефіцієнтів здійснюється методом найменших квадратів, що полягає в наступному: складають суму квадратів різниць значень функції в точках і табличних значень , а потім підбирають коефіцієнти функції так, щоб ця сума була найменшою.

Нехай, наприклад, функція – лінійна, тобто . Тоді .

Ця функція з двома змінними і набуває мінімуму в точках, для яких і , тобто

Перепишемо систему у вигляді

(4.14)

Система (4.14) є системою лінійних рівнянь відносно і . Неважко переконатися, що система має єдиний розв'язок і що при знайдених значеннях і сума має мінімум.

Приклад 4.9. Досліджуючи залежність врожайності від кількості внесених добрив (y – врожайність у ц/га, x – кількість добрив у ц/га) одержали такі дослідні дані:

 

x
y

 

Рис. 4.6.

Розв’язання. Побудуємо дослідну лінію залежності від (рис. 4.6).

Як бачимо з рисунка, на проміжку залежність від буде досить точно відображатися лінійною функцією . Знайдемо параметри , за методом найменших квадратів.

Складемо для нашої задачі і розв’яжемо систему (4.14). Для цього скористаємося розрахунковою таблицею:

xi	yi		xiyi

Знаходимо , , , .

Система (4.14) набуває вигляду

або

Розв’язуючи систему, знайдемо, що ; . Отже, залежність врожайності від кількості внесених добрив на 1 га найкраще відображає лінійна функція вигляду .

Нехай тепер є квадратичною функцією. Знайдемо значення коефіцієнтів , , , при яких функція найкраще (за методом найменших квадратів) відображає залежність між і , представлену таблично.

У цьому випадку сума квадратів відхилень значень функції: є функцією трьох змінних , , .

Функція досягає мінімуму в точках, для яких , , . Оскільки

, ,

,

то система рівнянь для визначення коефіцієнтів набуває вигляду:

Перепишемо систему інакше:

(4.15)

Із системи (4.15) коефіцієнти , , визначаються однозначно.

 

Економічні задачі

Нехай задана виробнича функція , що виражає залежність, наприклад, витрат виробництва від кількості двох видів продукції і , що виготовляються. Припустимо, що чинник змінився на , тоді виробнича функція зміниться на .

Вираз відображає середній приріст виробничої функції на одиницю приросту чинника , чи середні витрати виробництва на одиницю продукції . Перейшовши до границі при , одержимо граничні витрати виробництва на одиницю продукції : . Аналогічно за чинником : .

Еластичність виробничої функції щодо чинників виробництва і встановлюється так: і вказує приблизно процентний приріст виробничої функції (підвищення, зниження), що відповідає приросту чинника на 1% за умови, якщо чинник не змінюється; і вказує приблизно відсотковий приріст виробничої функції, що відповідає приросту чинника на 1% за умови, якщо чинник не змінюється.

Якщо виробнича функція встановлює залежність випуску від виробничих чинників , ,..., у вигляді , то диференціальними характеристиками такої функції є: – гранична ефективність відносно чинника , – еластичність випуску відносно та інші.

Приклад 4.10. Для випуску деякого товару визначена виробнича функція , де , – чинники виробництва. Визначити: а) закон зміни виробничої функції; б) еластичність функції за кожним чинником; в) коефіцієнт еластичності за чинниками при , .

Розв’язання. Для визначення зміни виробничої функції за чинниками і відповідно, необхідно знайти і :

; .

За означенням еластичність функції за кожним з чинників така:

; .

Обчислимо коефіцієнти еластичності при , . Врахуємо, що :

, .

Таким чином, зі збільшенням чинника на 1% відбудеться відносне збільшення заданої виробничої функції приблизно на 0,89% (за умови стабільності чинника ).

При збільшенні чинника на 1% і незмінності чинника виробнича функція збільшиться приблизно на 0,26%. Виходить, найбільший вплив на виробничу функцію робить чинник .

Відзначимо, що від'ємне значення коефіцієнта еластичності показує зменшення виробничої функції при збільшенні відповідного чинника. Наприклад, якщо і – функція випуску продукції, то збільшення чинника на 1% приводить до зниження випуску продукції на 0,08%.

Приклад 4.11. Фірма реалізує частину товару на внутрішньому ринку, а іншу частину поставляє на експорт. Зв'язок ціни товару і його кількості , проданого на внутрішньому ринку, описується рівнянням кривої попиту: . Аналогічно для експорту ціна і кількість також зв'язані відношенням (рівнянням кривої попиту): . Сумарні витрати визначаються виразом: . Яку цінову політику повинна проводити фірма, щоб прибуток був максимальний?

Розв’язання. Сумарний доход: , де , – доходи від продажу на внутрішньому ринку і від експортних постачань відповідно:

,

.

В обох випадках ціна береться з відповідних кривих попиту.

.

Одержуваний фірмою прибуток

Знаходимо частинні похідні першого порядку:

, ,

Стаціонарна точка .

Обчислюємо частинні похідні другого порядку:

, , ,

, .

Виходить, у стаціонарній точці існує максимум.

Знайдемо оптимальні ціни для продажу на внутрішньому і зовнішньому ринках, підставляючи координати точки максимуму в криві попиту:

,

.

Підраховуємо максимальний прибуток при оптимальних об'ємах продажу на внутрішньому і зовнішньому ринках:

Приклад 4.12. Фірма робить два види товарів і і продає їх за ціною 1000 грош. од. і 800 грош. од. відповідно. Об'єми випуску товарів – і . Функція витрат має вигляд

.

Потрібно знайти такі значення і , при яких прибуток, одержуваний фірмою, максимальний і знайти цей прибуток.

Розв’язання. Сумарний доход від продажу товарів і :

.

Прибуток являє собою різницю між доходом і витратами , тому ,

.

Це і є функція, максимум якої потрібно знайти. Для знаходження стаціонарних точок, визначаємо частинні похідні першого порядку від функції і прирівнюємо їх до нуля:

, ,

Стаціонарна точка . Знаходимо частинні похідні другого порядку:

, , ,

, .

Таким чином, точка є точкою максимуму. Максимальний прибуток досягається при об'ємах виробництва , . Знайдемо суму максимального прибутку:

 

Вправи

4.1. Знайти область визначення функції і побудувати її на площині:

а) ; б) ; в) .

4.2. На площині побудувати сімейство ліній рівня:

а) ; б) .

4.3–4.12. Знайти частинні похідні першого порядку.

4.3. . 4.4. .

4.5. . 4.6. .

4.7. . 4.8. .

4.9. . 4.10. .

4.11. . 4.12. .

4.13. Знайти повні диференціали функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

4.14. Обчислити приблизно за допомогою повного диференціала:

а) ; б) ; в) .

4.15. Знайти похідну функцію в напрямку прямої у точці .

4.16. Знайти градієнт функції в точці .

4.17. Знайти напрямок найбільшої зміни функції в точці .

4.18. Знайти похідні другого порядку функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

4.19. Дослідити функції на екстремум:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д)