![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох зміннихСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних Основні поняття У багатьох практичних задачах доводиться користатися величинами, що залежать не від однієї незалежної змінної, а від декількох змінних. Означення 4.1. Означення 4.2. Координатний простір називається
Означення 4.3. Нехай кожному числу Означення 4.4. Якщо кожній точці Той факт, що змінна
для явного завдання функції, і
для неявного завдання функції. Приклад 4.1. Знайти область визначення функцій: а) Розв’язання. Для випадку а) функція визначена для всіх значень Для випадку б) функція визначена при
Означення 4.5. Лінією рівня функції Рівняння лінії рівня має вигляд
Надаючи в цьому рівнянні різні значення сталої Для функції Для функції
Лінії рівня використовуються при складанні географічних карт (лінії рівня – лінії, в яких висота точок земної поверхні над рівнем моря однакова), при складанні метеорологічних карт (лінії рівня – ізобари, ізотерми, ізохори) і т.д.
Границя і неперервність
Для визначення границі функції введемо поняття околу точки Означення 4.6. Означення 4.7. Число Позначають Усі теореми про границі, доведені для функції однієї змінної поширюються і на функції багатьох змінних. Наприклад, Зауважимо, що слід розрізняти
Означення 4.8. Функція На випадок функції багатьох змінних переносять властивості неперервних функцій однієї змінної: сума, різниця, добуток неперервних у точці Аналогічно узагальнюється властивість неперервності складної функції. Функція При вивченні функції однієї змінної розглядалися основні властивості функцій, неперервних на відрізку. Ці властивості можна узагальнити на випадок функції багатьох змінних. До основних властивостей функції, неперервної в замкнутій обмеженій області 1. Функція обмежена в області 2. Функція досягає свого найменшого 3. Функція набуває хоча б в одній точці області
Частинні похідні функції Нехай у деякій області
який називається частинним приростом функції по змінній Означення 4.9. Частинною похідною по
Позначається частинна похідна по З означення частинних похідних випливає, що частинна похідна по будь-якій змінній є звичайною похідною цієї функції по обраній змінній, за умови, що інші змінні є сталими.
Тому обчислення частинних похідних не вимагає нових формул і правил диференціювання, крім тих, які відомі з диференціального числення функції однієї змінної. Наприклад, для функції
Повний диференціал Розглянемо неперервну функцію
Означення 4.10. Повним диференціалом функції двох змінних називається головна частина її приросту і позначається
Диференціал незалежної змінної дорівнює її приросту, тобто
Можна стверджувати, що
Цю формулу застосовують у наближених обчисленнях, заміняючи приріст функції її диференціалом. Приклад 4.2. Обчислити наближено Розв’язання. Для функції
Підставляючи значення, одержуємо
На підставі формули (4.6) у наближених обчисленнях оцінюють похибки обчислень. Приклад 4.3. При вимірі циліндра були отримані результати: Розв’язання. Об'єм циліндра обчислюється за формулою
Обчислюємо максимальну абсолютну похибку:
Відносну похибку результату,
Неявно задані функції Означення 4.14. Якщо змінна Наприклад, Розглянемо функцію
Продиференцюємо рівняння (4.10) по змінній
З останніх рівностей одержимо формули:
Аналогічно можна ввести поняття частинних похідних другого, третього, будь-якого порядку. Іноді неявні функції визначають системою функціональних рівнянь. Нехай функції
Розглянемо визначник:
Цей визначник називають визначником Якобі або якобіаном функцій Продиференцюємо рівняння системи (4.11) по змінній Цю систему можна розв’язати відносно змінних
Умовний екстремум Розглянемо функцію
Нехай виконуються умови:
Дослідження функції (4.12) на екстремум при виконанні умов (4.13) називають задачею на умовний екстремум. Існує декілька шляхів розв’язання цієї задачі. Розглянемо метод Лагранжа. Побудуємо допоміжну функцію
де Приклад 4.7. Знайти умовний екстремум функції Розв’язання. Побудуємо функцію Лагранжа:
Дослідимо цю функцію на екстремум. Запишемо необхідну умову екстремуму та знайдемо стаціонарні точки з системи: Стаціонарними точками будуть:
Для точки
Знак другого диференціалу невизначений, тобто в цій точці немає ні максимуму ні мінімуму. Для точки Оскільки
Метод найменших квадратів Часто при розв'язку практичних задач функціональна залежність між змінними задається у вигляді таблиці:
Для аналізу отриманого розв'язку зручно підібрати функцію, яка відповідала б таблиці експериментальних даних і якою можна було б скористатися для одержання значень функції. Зобразивши точки Так, якщо точки таблиці групуються біля деякої прямої, цю функцію можна шукати у вигляді лінійної функції Якщо ж точки розташовуються біля деякої параболи, то природно шукати функцію у вигляді квадратичної функції Якщо є вигляд функції, то залишається підібрати такі її коефіцієнти, при яких функція найкраще відповідала б таблиці. Підбор значень коефіцієнтів здійснюється методом найменших квадратів, що полягає в наступному: складають суму квадратів різниць значень функції в точках Нехай, наприклад, функція Ця функція з двома змінними Перепишемо систему у вигляді
Система (4.14) є системою лінійних рівнянь відносно Приклад 4.9. Досліджуючи залежність врожайності від кількості внесених добрив (y – врожайність у ц/га, x – кількість добрив у ц/га) одержали такі дослідні дані:
Розв’язання. Побудуємо дослідну лінію залежності Як бачимо з рисунка, на проміжку Складемо для нашої задачі і розв’яжемо систему (4.14). Для цього скористаємося розрахунковою таблицею:
Знаходимо Система (4.14) набуває вигляду
Розв’язуючи систему, знайдемо, що Нехай тепер У цьому випадку сума квадратів відхилень значень функції: Функція
то система рівнянь для визначення коефіцієнтів набуває вигляду:
Перепишемо систему інакше:
Із системи (4.15) коефіцієнти
Економічні задачі Нехай задана виробнича функція Вираз Еластичність виробничої функції Якщо виробнича функція встановлює залежність випуску Приклад 4.10. Для випуску деякого товару визначена виробнича функція Розв’язання. Для визначення зміни виробничої функції за чинниками
За означенням еластичність функції за кожним з чинників така:
Обчислимо коефіцієнти еластичності при
Таким чином, зі збільшенням чинника При збільшенні чинника Відзначимо, що від'ємне значення коефіцієнта еластичності показує зменшення виробничої функції при збільшенні відповідного чинника. Наприклад, якщо Приклад 4.11. Фірма реалізує частину товару на внутрішньому ринку, а іншу частину поставляє на експорт. Зв'язок ціни товару Розв’язання. Сумарний доход:
В обох випадках ціна береться з відповідних кривих попиту.
Одержуваний фірмою прибуток Знаходимо частинні похідні першого порядку:
Стаціонарна точка Обчислюємо частинні похідні другого порядку:
Виходить, у стаціонарній точці існує максимум. Знайдемо оптимальні ціни для продажу на внутрішньому і зовнішньому ринках, підставляючи координати точки максимуму в криві попиту:
Підраховуємо максимальний прибуток при оптимальних об'ємах продажу на внутрішньому і зовнішньому ринках: Приклад 4.12. Фірма робить два види товарів
Потрібно знайти такі значення Розв’язання. Сумарний доход від продажу товарів
Прибуток
Це і є функція, максимум якої потрібно знайти. Для знаходження стаціонарних точок, визначаємо частинні похідні першого порядку від функції
Стаціонарна точка
Таким чином, точка
Вправи 4.1. Знайти область визначення функції і побудувати її на площині: а) 4.2. На площині а) 4.3–4.12. Знайти частинні похідні першого порядку. 4.3. 4.5. 4.7. 4.9. 4.11. 4.13. Знайти повні диференціали функцій: а) г) 4.14. Обчислити приблизно за допомогою повного диференціала: а) 4.15. Знайти похідну функцію 4.16. Знайти градієнт функції 4.17. Знайти напрямок найбільшої зміни функції 4.18. Знайти похідні другого порядку функцій: а) г) 4.19. Дослідити функції на екстремум: а) в) д) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Поделиться: |
Познавательные статьи:
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; просмотров: 345; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.103.12 (0.014 с.)