Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної

Первісна і невизначений інтеграл

Однією з основних задач диференціального числення є обчислення похідної заданої функції. Різні питання природознавства приводять до розв'язку оберненої задачі – відновленню функції по заданим її похідній чи диференціалу.

Означення 5.1. Функція називається первісною для функції на даному проміжку, якщо в кожній точці цього проміжку

. (5.1)

Так, для функції первісна чи , чи ..., тобто функція має не одну первісну.

Теорема 5.1. Якщо первісна для функції , то теж буде первісною для функції .

Припустимо, що у функції є первісна іншого вигляду і для неї виконується означення 5.1

.

Розглянемо функцію . Її похідна тобто . Отже, , звідки , тобто , де – довільна стала.

Можна стверджувати наступне. Якщо функція неперервна на проміжку, то вона має первісну на цьому проміжку.

Означення 5.2. Невизначеним інтегралом функції називається сукупність всіх її первісних.

Позначається невизначений інтеграл символом

, (5.2)

де – підінтегральна функція; – підінтегральний вираз; – змінна інтегрування; – диференціал змінної інтегрування.

Таким чином, , , і т.п.

Обчислення первісної чи невизначеного інтеграла називається інтегруванням функції. Очевидно, що інтегрування є операція, обернена диференціюванню.

Для того, щоб перевірити, чи правильно виконана операція інтегрування, досить продиференціювати результат і одержати при цьому підінтегральну функцію.

Наприклад, , оскільки

.

 

Основні властивості невизначеного інтеграла

Основні властивості невизначеного інтеграла наступні.

1) Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції

.

2) Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

.

3) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює

.

4) Сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла

, – стала.

Для доведення продиференціюємо ліву і праву частини рівності, одержимо ; .

Отже, ліва і права частини рівності співпадають.

5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів цих функцій

.

Переконатися в правильності рівності можна, продиференціювавши його ліву і праву частину.

Властивість 5 поширюється на будь-яке число доданків.

6) Формула інтегрування залишається вірною, якщо в ній замінити будь-якою диференційованою функцією , а – її диференціалом (властивість інваріантості невизначеного інтеграла), тобто

.

Обчислимо похідні лівої і правої частини останньої рівності по як від складної функції, одержимо

,

.

Отже, властивість вірна.

Наприклад, якщо , то , і т.п. Зокрема, якщо , то , у чому легко переконатися, обчисливши похідну лівої і правої частини рівності.

Наприклад, , і т.п.

 

Таблиця невизначених інтегралів

Кожна з наступних формул вірна на проміжках, які належать області визначення підінтегральної функції.

1. 2. .

3. . 4. .

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16. .

17. .

18.

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. 25.

Частина формул цієї таблиці безпосередньо випливає з визначення інтегрування як операції, оберненої диференціюванню і таблиці похідних. Інші формули легко можуть бути перевірені, для цього досить продиференціювати результат інтегрування й одержати підінтегральну функцію.

Основні методи інтегрування

Слід зазначити, що не існує універсального методу знаходження невизначених інтегралів. Основою для цього є таблиця інтегралів, властивості інтегралів, методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Так називають інтегрування з використанням таблиці основних інтегралів та властивостей неозначеного інтегралу. Наведемо приклади безпосереднього інтегрування.

Приклад 5.1. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Маємо:

.

Приклад 5.2. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Приклад 5.3. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Приклад 5.4. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Приклад 5.5. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Приклад 5.6. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

При інтегруванні зручно використовувати властивість інваріантності диференціалу; наведемо, наприклад, такі формули:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Приклад 5.7. Обчислити інтеграли:

а) ; б) .

Розв’язання. а) ;

б) .

Приклад 5.8. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Приклад 5.9. Обчислити інтеграл .

Розв’язання.

.

Зауваження. При знаходженні суми інтегралів звичайно відразу пишуть одну довільну сталу.