Деякі інтеграли, що не виражаються через елементарні функції

Як вже наголошувалося вище, операція інтегрування функцій значно складніша за операцію диференціювання функцій. Не завжди вибраний шлях інтегрування є найкращим, більш коротким, простим. Інтегрування часто може бути виконане не єдиним способом. Багато що залежить від рекомендованого знання багатьох штучних прийомів інтегрування, від кмітливості, від натренованості. Наприклад, можна знайти, не використовуючи рекомендовану підстановку , а застосувавши штучний прийом:

.

Навряд чи варто обчислювати інтеграл , розкладаючи підінтегральну функцію на найпростіші дроби:

.

Помітивши, що чисельник є похідною знаменника , легко отримати:

.

На практиці при обчисленні невизначених інтегралів використовують різні довідники, що містять таблиці інтегралів, які часто зустрічаються. Зокрема, «Таблиці невизначених інтегралів» М.Л.Смолянського.

Вивчені методи інтегрування дозволяють у багатьох випадках обчислити невизначений інтеграл, тобто знайти первісну функцію для підінтегральної функції.

Як відомо, всяка неперервна функція має первісну. У тому випадку, коли первісна деякої елементарної функції є також елементарною функцією, говорять, що «береться», тобто інтеграл виражається через елементарні функції (або інтеграл обчислюється). Якщо ж інтеграл не виражається через елементарні функції, то говорять, що інтеграл не «береться» (або «його знайти не можна»).

Так, наприклад, не можна узяти інтеграл , оскільки не існує елементарної функції, похідна від якої б була рівна . Наведемо ще приклади інтегралів, що не «беруться», які мають велике значення в додатках:

 

- інтеграл Пуассона

- інтегральний логарифм (теорія чисел)

 

- інтеграли Френеля (фізика)

 

- інтегральні синус і косинус

 

- інтегральна показова функція.

Первісні від функції , , і інших добре вивчені, для них складені докладні таблиці значень для різних значень аргументу .

 

Інтеграли Ейлера.

При визначена гама-функція . Мають місце наступні властивості гама-функції:

,

При , визначена бета-функція . Має місце співвідношення: .

 

Інтеграл Фур’є.

Якщо 1) функція задана на осі ; 2) кусково-гладка на кожному скінченному проміжку; 3)абсолютно інтегровна на осі , то у кожній точці неперервності вона може бути подана у вигляді інтегралу Фур’є (в дійсній формі):

(4) ,

де , .

Якщо визначити амплітуду та початкову фазу , то формула (4) набуває вигляду:

.

Для комплекснозначних функцій розклад (4) має вигляд:

, де - частотна характеристика або спектр функції , - перетворення Фур’є функції .

 

Завдання Користуючись класичними невласними інтегралами (Пуассона, Діріхле, Фруллані, Френеля) та властивостями невласних інтегралів, залежних від параметра, обчислити дані інтеграли.

1. 2.

 

Означення визначеного інтеграла. Інтегральні суми

 

Нехай функція визначена на відрізку , < . Розіб’ємо відрізок на довільних частин так, щоб

 

< < …< < < <…< .

 

Сукупність точок назвемо -розбиттям відрізка на частини. Для кожного з частинних відрізків визначимо його довжину та значення функції у довільній точці . Позначимо через - найбільшу довжину серед довжин частинних відрізків, тобто . Утворимо суму , яка називається інтегральною сумою функції на відрізку .

 

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при умові, що найбільша із різниць прямує до нуля, яка не залежить ані від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, ані від вибору проміжних точок у кожному з частинних відрізків, то вона називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом . Отже, згідно з означенням,

 

.

 

Числа і називають відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; - підінтегральним виразом; - змінною інтегрування, а відрізок - проміжком інтегрування.

 

Означення 2. Функція , для якої на відрізку існує визначений інтеграл, називається інтегровною на цьому відрізку.

 

 

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що визначений інтеграл від невід’ємної та інтегровної на відрізку функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , відрізками прямих , та віссю :

 

Рис.1.1

Необхідною умовою існування визначеного інтеграла є обмеженість функції на відрізку .

Достатньою умовою існування визначеного інтеграла є неперервність функції на цьому ж відрізку.

 

Розглянемо деякі властивості визначеного інтеграла:

1) Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування:

.

 

2) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

 

3) Для будь-якого довільного сталого числа справджується рівність:

.

4) При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, тобто

.

 

5) Якщо функції і - інтегровні на відрізку , то функція також є інтегровною на цьому відрізку, причому

.

 

6) Якщо функція - інтегровна на найбільшому з відрізків , , , то вона інтегровна і в двох інших і для будь-якого взаємного розташування точок має місце рівність

.

 

7) Якщо функція - інтегровна на відрізку < і всюди на цьому відрізку , то

.

Аналогічно маємо, що , якщо .

 

8) Якщо функції і - інтегровні на < і всюди на цьому відрізку , то

.

 

9) Якщо функція - інтегровна на < , то функція також інтегровна на цьому відрізку, причому

.

 

10) Якщо функція - інтегровна на < та і - відповідно її найменше і найбільше значення на цьому відрізку, то справджуються нерівності

.

11) Якщо функція - неперервна на , то існує точка така, що виконується рівність:

.

 

Це ствердження має назву теореми про середнє значення визначеного інтеграла.