Поняття про лінію та її рівняння.

Лінія на площині розглядається (задається) як множинаточок,що має певні і притаманні тільки їм геометричні властивості. Наприклад, коло радіусом R це безліч всіх точок площини, віддалених на відстань R від деякої фіксованої точки О (центра кола).

Введення на площині системи координат дозволяє визначати положення точки площини завданням двох чисел — її координат, а положення лінії на площині визначається за допомогою рівняння (тобто рівність, що зв'язує координати точок лінії).

Рівняння лінії (або кривої) на площині Оху називається таке рівняння F(х;у)=0 з двома змінними, якому задовольняють координати х і у кожної точці лінії і не задовольняють координати будь-якої точки, які не лежать на цій лінії.

Змінні x і у в рівнянні лінії називаються поточними координатами точок лінії.

Рівняння лінії дозволяє вивчення геометричних властивостей лінії замінити дослідженням його рівняння.

Так, для того, щоб встановити чи лежить точка A(x₀; y₀) на даній лінії, досить перевірити (не вдаючись до геометричних побудов), чи задовольняють координати точки А рівнянню цієї лінії у вибраній системі координат.

Приклад: Чи лежать точки К(—2; 1) і L(1; 1) на лінії ?

○ Підставивши в рівняння замість x і у координати точки К, отримаємо . Отже, точки К лежить на даній лінії. Точка L не лежить на даній лінії, оскільки .●

Завдання про знаходження точок перетину двох ліній, заданих рівняннями F₁(х; у)=0 і F₂(х; у)=0, зводиться до відшукування точок, координати яких задовольняють рівняння обох ліній, тобто зводиться до розв’язку системи двох рівнянь з двома невідомими:

Якщо ця система не має дійсних розв’язок, то лінії не перетинаються.

Аналогічним чином вводиться поняття рівняння лінії в полярній системі координат.

Рівняння F(; )=0 називається рівнянням даної лінії в полярній системі координат, якщо координати будь-якої точки, лежать на цій лінії, і лише вони, задовольняють це рівняння. Пряму на площині можна задати за допомогою двох рівнянь:

(2.1)

де х і у — координати довільної точки М(х; у), які лежать на даній лінії, а t — змінна, називається параметром; параметр t визначає положення точки (х; у) на площині.

Наприклад, якщо , у, то значенню параметра відповідає на площині точка з координатами (3; 4), оскільки , .

Якщо параметр t змінюється, то точка на площині переміщається, описуючи дану лінію. Такий спосіб завдання прямої називається параметричним, а рівняння (2.1) — параметричними рівняннями лінії.

Щоб перейти від параметричних рівнянь лінії до рівняння виду F(х;у)=0, треба яким-небудь чином з двох рівнянь виключити параметр t. Наприклад, від параметричних рівнянь шляхом підстановки в друге рівняння, легко отримати рівняння або , тобто виду F(х; у)= 0. Проте, відмітимо, такий перехід не завжди доцільний і не завжди можливий.

рис. 9.

Лінію на площині можна задати векторним рівнянням, де t — скалярний змінний параметр. Кожному значенню t₀ відповідає певний вектор площини. При зміні параметра t кінець вектора опише деяку лінію (див. рис. 9).

Векторному рівнянню лінії в системі координат Оху відповідають два скалярні рівняння (2.1), тобто рівняння проекцій на осі координат векторного рівняння лінії є її параметричні рівняння.

Векторне рівняння і параметричне рівняння лінії мають механічний сенс. Якщо точка переміщається на площині, то вказані рівняння називаються рівняннями руху, а пряма — траєкторією точки, параметр t при цьому є час.

Отже, всякій лінії на площині відповідає деяке рівняння виду F(х; у)= 0.

Всякому рівнянню виду F(х; у)= 0 відповідає, взагалі кажучи, деяка лінія, властивості якої визначаються даним рівнянням (вираз «взагалі кажучи» означає, що сказане допускає виключення. Так, рівнянню (х-2)²+(у-3)²=0 відповідає не лінія, а точка (2;3); рівнянню на площині не відповідає ніякий геометричний образ).

У аналітичній геометрії на площині виникають два основні завдання. Перше: знаючи геометричні властивості кривої, знайти її рівняння; друге: знаючи рівняння кривої, вивчити її форму і властивості. На малюнках 10-18 приведені приклади деяких кривих і вказані їх рівняння.

або

рис. 10. Коло радіусом R

 

 

 

рис. 11. Лемніската Бернуллі рис. 12. Трьохпелюсткова роза
Рівняння в прямокутних координатах: У полярних координатах її рівняння
(х²+у²)²– ²(х²–у²)=0, > 0; має вигляд, де >0.

у полярних координатах: .

 

 

рис. 13. Равлик Паскаля

Рівняння в полярних координатах має вигляд .

 

 

рис. 14. Напівкубічна парабола рис. 15. Астроїда

Рівняння кривої у² = х³ або Рівняння в прямокутних координатах: ; параметричні рівняння:

рис. 16. Кардіоїда рис. 17. Спіраль Архімеда

Рівняння в полярних координатах рівняння кривої в полярних

має вигляд , координатах,

де . Кардіоїда — окремий випадок де - постійне.

равлика Паскаля ().

 

 

рис. 18. Циклоїда

Параметричні рівняння циклоїди мають вигляд де а > 0.

Циклоїда — це крива, яку описує фіксована точка кола, що котиться без ковзання по нерухомій прямій.