Поняття умовного екстремума.

Нехай на відкритій множині задано функції , і — множина точок, що задовольняють рівняння

(5.6)

Означення. Рівняння (5.6) називають рівнянням зв’язку. Точку називають точкою умовного строгого максимуму функції відносно рівняння зв’язку (5.6), якщо існує такий окіл точки , для всіх точок якого , що задовольняють рівняння зв’язку, справджується нерівність .

Якщо за таких умов виконується , тоді точку називають точкою умовного строгого мінімуму функції при обмеженнях (5.6).

Аналогічно вводяться поняття нестрогого умовного екстремуму.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Умовні екстремуми, обгрунтування методу Лагранжа (теорема).

Визначення

Нехай на G визначена функція . Точка називається точкою умовного екстремуму функції відносно рівнянь зв'язку, якщо вона є точкою звичайного екстремуму на множині E (розглядаються окіли ).є

 

 

Теорема

Нехай - точка умовного екстремуму функції при виконанні рівнянь зв’язку. Тоді в цій точці градієнти є лінійно залежні, тобто але .

Наслідок

Якщо - точка умовного екстремуму функції відносно рівнянь зв’язку, то такі, що в точці або в координатному вигляді .

Достатня умова умовного екстремуму

Нехай є стаціонарною точкою функції Лагранжа при . Якшо - від'ємно (додатнью) визначена квадратична форма змінних dx ₁,.., dxn при умові , то є точкою max (min для додатньо визначенної) умовного екстремуму. Якщо вона за цих умов не є знаковизначенною, тоді екстремуму немає.

 

Прямий метод знаходження точок умовного екстремума (метод включення).

Прямий метод знаходження точок
умовного екстремуму (метод виключення)

Рис. 5.21

Якщо рівняння зв’язку можна розв’язати відносно змін­ної , наприклад, , тоді дослідження функції на умовний екстремум при обмеженні (5.6) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції однієї змінної :

.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

l Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінної :

.

Підставимо знайдене значення у вираз для та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції ,

.

Таким чином, задана функція має умовний екстремум у точці (3; 3).

 

Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремума.

Метод найменших квадратів.

Нехай функції та неперервно диференційовні в околі і ранг матриці Якобі дорівнює 1 у точках, що задовольняють рівняння зв’язку.

Означення. Функцію називають функцією Лагранжа, параметр — множником Лагранжа.

Теорема 22. (Необхідна умова існування умовного екстремуму.) Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівнянні зв’язку необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовольняли систему рівнянь:

Ці умови означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Теорема 23. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції , подвійно неперервно диференційовні в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функції при обмеженні Тоді якщо за умови

, (5.7)

другий диференціал функції Лагранжа є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою, то функція у точці має умовний строгий мінімум (максимум).

Якщо за умов (5.7) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

l Функції і подвійно неперервно диференційовні. Матриця Якобі в даному випадку має вигляд і її ранг дорівнює 1 в усіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами дістанемо систему:

з якої знаходимо , при ; , при . Таким чином, функція може мати умовний екстремум тільки в двох точках (–5; 4) і (5; – 4).

Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа: , , , тоді .

Знайдемо перший диференціал функції .

У точках (–5; 4) і (5; – 4) диференціали і пов’язані рівністю: , . При виконанні цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці (–5; 4) є додатно визначеною квадратичною формою , а в точці (5; –4) — від’ємно визначеною формою .

Отже, функція у точці (–5; 4) має умовний мінімум , а в точці (5; –4) — умовний максимум .

Метод найменших квадратів

1. Лінійна залежність

Нехай , ,..., — послідовність значень незалежної змінної, а , ,..., — послідовність відповідних значень залежної змінної.

Необхідно дібрати пряму, яка «найліпше» виражала б за-
лежність між і . Це означає, що відхилення фак-
тичних значень функції від дібраної прямої мають бути мінімальними.

Нехай є рівняння цієї прямої. Маємо , ,..., .

Відхилення від фактичних значень функцій становлять:

.

Ці відхилення мають бути додатними або від’ємними, тому пряма добирається так, щоб сума квадратів відхилень

була найменшою. Отже, треба визначити і так, щоб функція f досягала мінімуму. Необхідна умова існування мінімуму полягає в тому, що , .

Маємо , отже,

Обчислимо , звідки і , звідки .

Таким чином, ми дістанемо два рівняння з двома змінними — і :

, .

Розв’язування цих двох рівнянь дає значення і , які визначають пряму, що найліпше відбиває хід змінювання функції.

Приклад. Виробництво цементу (у сотнях тонн) і витрати електроенергії (на 1 тонну цементу за рік) за визначений період роботи цементної промисловості характеризуються значеннями, які зведено в такій таблиці:

 

	13,5

 

Знайти пряму, яка відбиває залежність від .

l Складаємо таку таблицю:

 

	13,5			182,25
Сума	57,5			686,25

Рис. 5.22

 

, , , .

Отже, необхідна умова існування мінімуму суми квадратів відхилень подається так:

,

.

Таким чином, шукана пряма є (рис. 5.22).