Загальний висновок про квадратні рівняння

Многочленом (поліномом) степеня називається функція

(8.12)

де ціле число. називають ще цілою раціональною функцією від Коефіцієнти дійсні або комплексні числа, незалежна змінна може приймати як дійсні, так і комплексні значення. Коренем многочлена називається таке значення змінної , при якому многочлен перетворюється в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу). При діленні многочлена на залишок дорівнює

Д о в е д е н н я. При діленні на часткою буде многочлен степеня на одиницю нижчого від а залишком буде постійне число Отже. Ми можемо записати рівність

(8.13)

Ця рівність справедлива при всіх значеннях що відмінні від

Якщо то границя правої частини буде дорівнювати а лівої - Отже,

Наслідок. Якщо корінь многочлена, тобто то ділиться без залишку на а, значить, його можна представити у вигляді добутку

де многочлен.

Якщо рівняння має вигляд де многочлен степеня то таке рівняння називається алгебраїчним рівнянням степеня Із визначення випливає, що корені алгебраїчного рівняння такі ж, як і корені многочлена

Природно виникає питання: чи всяке рівняння має корені?

Не всяке рівняння має корені. Але у випадку алгебраїчного рівняння відповідь на це питання позитивна.

Теорема 2 (основна теорема алгебри). Всяка ціла раціональна функція має по крайній мірі один корінь, дійсний або комплексний.

Ця теорема доводиться у вищій алгебрі.

Нехай многочлен має деякий корінь Тоді із наслідка теореми Безу маємо Із основної теореми алгебри випливає, що також має корінь, наприклад, Тоді

і і т.д.

Продовжуючи цей процес виділення лінійних множників, дійдемо до многочлена нульового степеня, тобто деякого фіксованого числа. Це число, очевидно, дорівнює так що будемо мати рівність

(8.14)

Ніяке значення , що відмінне від , не може бути коренем многочлена оскільки ні один із множників в правій частині (8.14) не перетворюється в нуль при

Звідси випливає таке твердження: многочлен степеня не може мати більше, ніж різних коренів.

Якщо в розкладі (8.14) деякі лінійні множники виявляться однаковими, то їх можна об’єднати. І тоді розклад многочлена на множники буде мати вигляд:

При цьому Корінь називається коренем кратності або -кратним коренем, коренем кратності і т.д.

Звідси можна сформулювати наступну теорему.

Теорема 3. Всякий многочлен степеня має рівно коренів (дійсних або комплексних).

Приведемо без доведення ще одну важливу теорему.

Теорема 4. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь то він має і спряжений корінь

Тоді парі спряжених комплексних чисел буде відповідати квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами

Якщо число є коренем кратності то й число буде коренем кратності і їм буде в розкладі відповідати множник

Таким чином, многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами першого та другого степеня відповідної кратності:

Елементи лінійної алгебри.

 

Визначники вищих порядків.

Теорема 1.1 (Лапласа). Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад, для визначника третього порядку виконуються такі рівності:

_{(розклад за елементами першого рядка);}

(розклад за елементами другого стовпця).

Теорема 1.2. Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Наприклад, для визначника третього порядку виконуються такі рівності:

, .

N.B. Теореми 1.1 і 1.2 мають місце для визначників будь-якого порядку.

Розглянемо визначник n-го порядку

.

За теоремою 1.1 цей визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення. Наприклад, розклад визначника за елементами першого рядка такий:

.

Def. Визначником n-го порядку

називають алгебраїчну суму всіх можливих добутків, які містять по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця. Знак кожного доданка дорівнює , де – число інверсій у других індексах за умови, що елементи (множники ) доданка розміщені в порядку зростання перших індексів. Отже,

.

Усього таких доданків n! Половину з них беруть зі знаком плюс, а іншу половину – зі знаком мінус.

N.B. Визначник n-го порядку, у якого під головною діагоналлю всі елементи нульові, дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто