Знайдіть похідну функції в точці x, використовуючи означення похідної.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

2. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в т. А(2;8). Знайти довжини відрізків дотичної і нормалі в цій точці.

3. Скласти рівняння дотичної і нормалі до параболи в т. (2;4). Знайти довжини піддотичної і піднормалі в цій точці.

4. Написати рівняння дотичної і нормалі до функції в точці :

а) ; т. ;

б) ; т. .

5. У якій точці дотична до кривої нахилена до осі Ох під кутом, величина якого дорівнює ?

6. Під яким кутом дотична до кривої в точці (0;1) перетинає вісь Ох?

7. У параболи проведена дотична в точці:

а) (0;0);

б) (2;1);

в) (4;0).

Знайти величину кута нахилу до дотичної до осі Ох.

 

 

Геометричне застосування похідної

Рівняння дотичної до графіка функції у точці має вигляд

,

а рівняння нормалі

.

Довжина дотичної

;

довжина нормалі

;

довжина піддотичної

;

довжина піднормалі

.

Правило обчислення похідних. Похідна показникової, логарифмічної, тригонометричної, складеної функцій.

Основні правила диференціонування. Вважаємо, що - стала величина, а і - деякі диференційовні функції від .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Якщо , де , то , або .

6. Якщо , а , то .

7. Якщо , то .

Таблиця похідних.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. .

18. .

I. Знайдіть похідні наступних функції:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. .

II. Знайдіть похідну функції в т. :

1. , ;
2. , ;

 

1. , ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. , ;
6. , ;
7. , .

Монотонність функції. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменше значення функції.

Монотонність і екстремум функції

 

Якщо для , то функція на цьому інтервалі зростає (спадає).

Якщо функція в точці має екстремум, то її похідна в цій точці обертається на нуль або не існує і, проходячи через цю точку, похідна змінює знак.

У випадку мінімуму похідна, проходячи через цю точку зліва направо, змінює знак з «-» на «+», у випадку максимуму – з «+» на «-».

Функція в точці має максимум (мінімум), якщо в цій точці і .

Якщо в точці перша похідна від функції обертається на нуль, а перша відмінна від нуля похідна буде парного

 

порядку, то в цій точці функція має екстремум, при чому мінімум, якщо ця похідна додатна, і максимум, якщо від’ємна.

 

 

Найбільше і найменше значення функції

Неперервна на відрізку функція набуває своїх найбільшого і найменшого значень або в критичних точках (у точках, в яких похідна перетворюється в нуль або не існує), що належать цьому відрізку, або на його кінцях.

I.Знайти і обчислити інтервали монотонності функції:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

II.Знайти локальні екстремуми функцій:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;


5. ;
6. .

III. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку:

1. , ;
2. , .

IV.Використовуючи другу умову локального екстремуму, знайти локальні екстремуми функції:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

V. Використовуючи третю достатню умову локального екстремуму, знайти локальні екстремуми функції в т. :

1. ; т. ;

2. ; т. .

Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Асимптоти кривої. Дослідження функції та побудова її графіка

Опуклість і вгнутість кривих

Якщо для , то графік функції на цьому інтервалі опуклий (вгнутий). У точці перегину друга похідна обертається на нуль або не існує і, проходячи через цю точку, змінює знак.

 

 

Асимптоти кривої

Вертикальна асимптота графіка функції має вигляд

,

де - те значення аргументу, при якому функція обертається на нескінченність. Рівняння похилої асимптоти

,

де

, ,

якщо ці границі існують і скінчені.

 

 

Схема дослідження функції та побудова її графіка

Схема дослідження:

1) знайти область існування функції;

2) знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями;

3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;

4) знайти точки розриву та дослідити їх;

5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції у цих точках;знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

6) знайти асимптоти графіка функції;

7) на основі проведеного дослідженння побудувати графік функції.

І. Дослідити на опуклість графіки функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

 

ІІ. Знайти точки перегину графіка функції:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

 

ІІІ. Знайти асимптоти кривих:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

ІV. Дослідити функцію і побудувати її графік:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

 

 

Глава 5. Інтегральне числення функції однієї змінної

 

Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування невизначеного інтеграла