Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності

Ознака порівняння. Нехай ряди та знакододатні і , тоді якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд , а якщо ряд розбіжний, то розбіжний і ряд .

Гранична ознака порівняння. Нехай ряди та знакододатні, причому існує скінченна границя , тоді ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Ознака Д’Аламбера. Якщо для знакододатного ряду існує границя , то ряд збіжний при і розбіжний при .

 

Ознака Коші. Якщо для знакододатного ряду існує границя , то ряд збіжний при і розбіжний при .

Інтегральна ознака Коші. Нехай задано ряд

,

причому додатна, неперервна і монотонно спадна функція на проміжку . Тоді ряд збіжний, якщо збіжний невласний інтеграл , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

І. Дослідити на збіжність ряди (ознака Д’Аламбера):

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

 

5. 10.

 

ІІ. Дослідити на збіжність ряди (ознака Коші):

1. 5.

2. 6.

3. 7.

8.

Степеневі ряди Теорема Абеля. Інтеграл та радіус збіжності степеневого ряду

Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля

Функціональний ряд виду називають степеневим рядом.

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збіжний при , то він абсолютно збіжний для всіх значень , що задовольняють нерівність . Якщо при ряд

розбіжний, то він розбіжний всюди, де .

Для визначення радіуса та інтервалу збіжності степеневого ряду, складемо ряд з модулів членів ряду ,

тобто .

Припустимо, що для коефіцієнтів степеневого ряду існує границя

або .

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал - його інтервалом збіжності. Питання збіжності ряду при розв’язується для кожного ряду окремо. Якщо , то ряд є збіжним на всій числовій осі, а при ряд збігається лише в точці .

Радіус збіжності визначається за тими самими формулами, що й ряд . Але інтервал збіжності знаходять з нерівності , тобто він має вигляд .

 

Знайти область збіжності степеневих рядів:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

Ряд Тейлора. Розкладання елементарних функцій у ряд Маклорена

Розвинення елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена. Наближені обчислення

Ряд Тейлора має вигляд:

 

При маємо ряд Маклорена

Розвинення деяких функцій у ряд Маклорена:

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

 

, ;

, ;

,

;

, .

 

І. Розкласти в ряд Маклорена функції:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

 

ІІ. Скласти ряд Тейлора для даних функцій у вказаних точках:

1. , , ;

2. , , .

 

Ряди Фур’є

Тригонометричні ряди

Нехай - - періодична кусково-диференційована на відрізку функція. Тоді ряд Фур’є цієї функції має вигляд

,

де

;

; .

Якщо функція парна на , то її ряд Фур’є має вигляд

,

де

; .

Якщо функція непарна на , то її ряд Фур’є має вигляд

,

 

де

.

Для довільної інтегрованої - періодичної функції виконується рівність

,

де - довільне число.

Нехай функція , визначена на відрізку , має період і на відрізку кусково-диференційована. Тоді

,

де

,

, .

Якщо функція парна на , то маємо

,

де

 

, .

а якщо непарна на , то

,

де

.

 

Ортогональність системи функцій

Система функцій ортогональна на , якщо .

Система функцій ортогональна на з вагою , якщо .

І. Розкласти в ряд Фур’є функцію:

1. на відрізку

2. на відрізку

3. , ;

4. , .

ІІ. Які із цих систем функцій є ортогональними на відрізку

:

1. , ,

2. , , ,

3. , ;

4. ,

 

 

Відповіді

Глава 3.

§3.1 II. а) б)

 

III. 1. -1; 2. . 3. . 4. 3. 5. . 6. .

 

§3.2 III. 1. . 2. -1. 3. . 4. 1.

IV. 1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

V. 1. непарна. 2. ні, парна, ні, непарна.

VI. 1. непарна. 2. ні, парна, ні, непарна. VI. 1. . 2. 0.

3. 0. 4. .

 

Глава 4.

§4.1 2. рівняння дотичної: ; рівняння нормалі: . 3. рівняння дотичної: ; рівняння нормалі: . 4. а) рівняння дотичної: ; рівняння нормалі: . б) рівняння дотичної: ; рівняння нормалі: . 5. т. .

6. . 7. а) ; б) ; в) .

 

§4.2 I. 1. . 2. . 3. .

4. .

5. .

6. . 7. .

8. .

9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. .

15. .

 

II.1. 2. 2. 0. 3. 4. 4. 1. 5. 2. 6. . 7. . 8. 0. 9. 0.

 

§4.3 I. 1. функція зростає на інтервалі . 2. - функція спадає, - функція зростає. 3. - функція спадає, - функція зростає. 4. - функція зростає; - функція спадає. 5. - функція спадає; функція зростає. 6. - функція спадає функція зростає. 7. - функція спадає; функція зростає.

 

 

II.1. , .

2. . 3. Функція зростає на множині дійсних чисел.

4. , . 5. , , .

 

III.1. , .

2. , .

 

VI. 1. , .

2. , .

3. . 4. , .

 

VI. .

 

§4. I. 1. - крива вгнута, - крива опукла. 2. - крива опукла, - крива вгнута. 3. - крива опукла, - крива вгнута. 4. - крива опукла, - крива вгнута. 5. - крива вгнута, - крива опукла. 6. крива вгнута на множині дійсних чисел.

 

 

І1. . 2. . 3. , , .

4. . 5. . 6. .

III. 1. - вертикальна асимптота, - похила асимптота. 2. - горизонтальна асимптота. 3. - вертикальна асимптота, - похила асимптота. 4. - вертикальна асимптота. 5. - горизонтальна асимптота.

 

 

Глава 5.

§5.1 1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. . 17. .

18. .

19. .

 

20. . 21. .

22. .

23. . 24. . 25. .

26. .

27. . 28. . 29. .

30. .

 

§5.2 1. 26. 2. 1. 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. 61. 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. .

18. . 19. 3. 20. . 21. . 22. . 23. .

24. . 25. 2. 26. . 27. . 28. 12.

29. . 30. .

 

§5.3 I. 1. . 2. . 3. . 4. .

6. . 7. 2. 8. .

9. . 10.

 

II. 1. 16. 2. 6. 3. 36. 4. . 5. . 6. 8. 7. . 8. 6. 9. . 10. 6

Глава 6.

§6.1 VI. 1. .

2. .

 

§6.2 I. 1. .

2. .

3. .

4. .

5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

 

 

17. . 18. .

 

II. .

 

III. .

 

Глава 7

§7.1 VI. 1. . 2. .

§7.2 I. 1. . 2. . 3. .

4. . 5. .

II. 1. . 2. . 3. . 4. . 5.

III. 1. . 2. . 3. . 4. .

IV. 5. .

V. 1. . 2. . 3. .

VI. 4. . 5. .

§7.3 I. 1. . 2. . 3. .

4. . 5. .

II. 1. . 2. . 3. .

III. 4. . 5.

IV. 1. . 2. .

V. 3. . 4. . 5. . 6. .

§7.4 I. 1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. .

9. . 10. .

II. 1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

6. .

Глава 8

§8.1 I. 1. розбіжний. 2. збіжний. 3. розбіжний.

1. розбіжний. 2. розбіжний. 3. збіжний.

4. збіжний. 5. розбіжний.

1. збіжний. 2. збіжний. 3. збіжний. 4. збіжний.

5. збіжний.

§8.2 I. 1. збіжний. 2. розбіжний. 3. збіжний. 4. збіжний. 5. розбіжний. 6. збіжний. 7. збіжний. 8. збіжний. 9. збіжний.

10. збіжний.

1. збіжний. 2. збіжний. 3. розбіжний.

4. розбіжний. 5. збіжний. 6. збіжний.

7. розбіжний.

§8.3 1. . 2. ряд збіжний лише в точці . 3. .

4. . 5. . 6. . 7. ряд абсолютно збіжний по всій числовій вісі. 8. . 9. . 10. .

I.

1. .

2. .

3. . 4. .

6. . 7. .

 

II. 1. , при ; , при .

2. , при ; , при .

§8.5

І. 2. .

3. .

4. ,

.

II. 1. неортогональна. 2. ортогональна.

3. ортогональна.

4. ортогональна.

Список рекомендованої літератури

Основна:

1. Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика. Збірник задач:-
Навч. посіб. - К.: А. С. К, 2001. - 480 с.

2. Дубовик В. П., Юрик 1. І. Вища математика: Навч. посіб. - К.:
Вища школа, 1993. - 648 с.

3. Дюженкова Л. І., Дюженкова О. Ю., Михалін Г. О. Вища"
математика. Приклади і задачі: Навч. посіб. - К.: Видав, центр
"Академія", 2002. - 624 с.

4. Лейфура В. М. та ін. Математика: підручник для студентів
економічних спеціальностей вищих навчальних закладів I—II рівнів акредитації. - К.: Техніка, 2003. - 640 с.

5. Соколенко О. І. Вища математика. Підручник. - К.: Видав
центр "Академія", 2002. - 432 с.

Додаткова:

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебри.-М.: Наука, 1987.-320 с.

2. Дискант В. І., Береза Л. Р., Грижук О. П., Захаренко Л. М.
Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. - К.:«
Вища школа, 2001. - 303 с.

3. Завало С. Т. Курс алгебри. - К.: Вища школа. Головне
видавництво, 1985. - 503 с.

4. Пастушенко С. М., Підченко Ю. П. Вища математика. Довідник
для студентів вищих навчальних закладів. - К.: Діал, 1999. -
338 с.

5. Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. Учебник
Пособие вузов. - 2-е изд., испр. - Высшая школа, 2001. - 304

 

 

6. Щипачев В. С. Курс высшей математики. Учебник / Под
ред. А. Н. Тихонова. - М.: ПБОЮЛ М. А. Захаров, 2002. - 600 с.

 

ПРО АВТОРА

Кацімон Оксана Василівна – викладач циклової комісії фундаментальних дисциплін Черкаського державного бізнес-коледжу. Закінчила Черкаський педагогічний інститут ім. Б. Хмельницького в 1993 р. Викладає математику з 1993 року. Спеціаліст вищої категорії. Автор навчально-методичного видання “Вища математика. Методичні рекомендації”(2002р.) та “Вища математика. Збірник задач” (2005р.).

 

Навчальне видання

Кацімон Оксана Василівна

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Збірник задач

ІІ частина

 

 

Редактор Н. А. Азьмук

Комп’ютерний набір О. В. Кацімон

Коректор В.Л. Красюк

 

Підписано до друку. Формат 60х84 ¹/₁₆

Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman. Друк офсетний.

Умов. друк. арк. 0,87 Тираж 80 прим. Зам. № 187

Видавництво ТОВ "Інтеграл-техноімпекс" 18000, м.Черкаси, вул. Смілянська, 2

За довідками з питань реалізації звертатись за тел. [phone]