Зростання і спадання функції на проміжку

Як відомо, функція називається зростаючою на даному проміжку, якщо для будь-яких двох точок , цього проміжку з умови випливає , тобто меншому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Аналогічно, функція називається спадною на даному проміжку, якщо для будь-яких точок і цього проміжку з умови випливає , тобто меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

З цих означень випливає, що функція зростає на проміжку, якщо для будь-яких двох точок і приріст аргументу і приріст функції одного знака на цьому проміжку, і відповідно функція спадає на проміжку, якщо для неї на цьому проміжку приріст аргументу і приріст функції різних знаків.

Необхідна умова зростання і спадання функції.

Якщо диференційована функція зростає на даному проміжку, то в будь-якій точці цього проміжку . Якщо диференційована функція спадає на даному проміжку, то в будь-якій точці x цього проміжку .

Дійсно, нехай, наприклад, функція зростає на даному проміжку. Розглянемо на ньому довільну точку . Дамо приріст . Тоді відповідний приріст функції одного знака з , отже . Переходячи в цій нерівності до границі при , одержуємо .

Аналогічно доводиться необхідна умова спадання функції на проміжку.

Геометрично тлумачення теореми означає, що в кожній точці графіка зростаючої функції дотична утворює гострий кут з віссю , а в кожній точці графіка спадної функції дотична утворює тупий кут з віссю .

Достатня умова зростання і спадання функції.

Нехай диференційована функція на деякому проміжку. Якщо в кожній точці x даного проміжку , то функція зростає на цьому проміжку. Якщо в кожній точці даного проміжку , то функція спадає на цьому проміжку.

Нехай, наприклад, на даному проміжку . Візьмемо на цьому проміжку дві будь-які точки і . Тоді за теоремою Лагранжа:

,

де точка лежить між точками і .

Оскільки , то знаки різниць і однакові, тобто функція на даному проміжку зростає.

Аналогічно розглядається випадок, коли . Інтервали монотонності неперервної функції розділяють точки, в яких похідна дорівнює або нулю, або нескінченності, або не існує (критичні точки). Точки, в яких похідна дорівнює нулю ще називають точками стаціонарності функції. Для розривної функції, крім зазначених точок, інтервали монотонності можуть розділяти і точки розриву функції.

На рис. 3.7 інтервали монотонності розділені точками , , , , причому в точці функція не визначена, у точці похідна дорівнює нулю, у точці похідна не існує, у точці похідна дорівнює нескінченності.

 

 

Рис. 3.7.

 

Виходячи зі сказаного, можна сформулювати такий порядок дослідження функції на монотонність:

- знайти область визначення функції;

- знайти похідну функції;

- знайти критичні точки.

- критичними точками область визначення функції розбити на проміжки і досліджувати знак на кожному з проміжків.

Говорять, якщо на проміжку , то це проміжок зростання, якщо ж , то це проміжок спадання.

Приклад 3.18. Знайти інтервали монотонності функції .

Розв’язання. Функція визначена на всій числовій прямій, крім точки , тобто її область визначення складається з інтервалів . Похідна функції дорівнює нулю при , тобто . Розв’язуючи рівняння, одержимо дві стаціонарні точки . Похідна не існує при . Одержали точки: , , , що розбивають область визначення функції на проміжки , , , . Знак похідної на кожному проміжку визначимо за значенням похідної в деякій, довільно обраній точці проміжку. Наприклад, знак похідної на проміжку визначимо за її значенням в точці: : , отже на цьому проміжку функція зростає. Провівши аналогічні дослідження, одержимо, що на проміжках і похідна функції від'ємна, отже тут функція спадає; на проміжку похідна функції додатня, значить тут функція зростає.

Схематично результат дослідження зображено на рис. 3.8.

 

 

Рис. 3.8.

 

Екстремуми функції

Нехай функція неперервна на деякому інтервалі, що містить у собі точку .

Означення 3.5. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх значень з цього околу виконується нерівність (рис. 3.9, а). Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх значень цього околу виконується нерівність (рис. 3.9, б).

Точки максимуму і мінімуму функції називають точками екстремуму. Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називають максимумом (мінімумом) функції чи екстремумом функції.

Функція на даному проміжку може мати і декілька екстремумів, причому деякі з мінімумів функції можуть бути більше деяких її максимумів.

 

 

Рис. 3.9.

 

Рис. 3.10.

На рис. 3.10 зображена функція, у якої в точці максимум, а в точці – мінімум, причому . Але це не суперечить означенню екстремуму функції, оскільки в означенні екстремуму порівнюються значення функції в точці і деякому її околі. Говорять, що мова йде про локальні екстремуми.