Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Зростання і спадання функції на проміжкуСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Як відомо, функція називається зростаючою на даному проміжку, якщо для будь-яких двох точок , цього проміжку з умови випливає , тобто меншому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Аналогічно, функція називається спадною на даному проміжку, якщо для будь-яких точок і цього проміжку з умови випливає , тобто меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції. З цих означень випливає, що функція зростає на проміжку, якщо для будь-яких двох точок і приріст аргументу і приріст функції одного знака на цьому проміжку, і відповідно функція спадає на проміжку, якщо для неї на цьому проміжку приріст аргументу і приріст функції різних знаків. Необхідна умова зростання і спадання функції. Якщо диференційована функція зростає на даному проміжку, то в будь-якій точці цього проміжку . Якщо диференційована функція спадає на даному проміжку, то в будь-якій точці x цього проміжку . Дійсно, нехай, наприклад, функція зростає на даному проміжку. Розглянемо на ньому довільну точку . Дамо приріст . Тоді відповідний приріст функції одного знака з , отже . Переходячи в цій нерівності до границі при , одержуємо . Аналогічно доводиться необхідна умова спадання функції на проміжку. Геометрично тлумачення теореми означає, що в кожній точці графіка зростаючої функції дотична утворює гострий кут з віссю , а в кожній точці графіка спадної функції дотична утворює тупий кут з віссю . Достатня умова зростання і спадання функції. Нехай диференційована функція на деякому проміжку. Якщо в кожній точці x даного проміжку , то функція зростає на цьому проміжку. Якщо в кожній точці даного проміжку , то функція спадає на цьому проміжку. Нехай, наприклад, на даному проміжку . Візьмемо на цьому проміжку дві будь-які точки і . Тоді за теоремою Лагранжа: , де точка лежить між точками і . Оскільки , то знаки різниць і однакові, тобто функція на даному проміжку зростає. Аналогічно розглядається випадок, коли . Інтервали монотонності неперервної функції розділяють точки, в яких похідна дорівнює або нулю, або нескінченності, або не існує (критичні точки). Точки, в яких похідна дорівнює нулю ще називають точками стаціонарності функції. Для розривної функції, крім зазначених точок, інтервали монотонності можуть розділяти і точки розриву функції. На рис. 3.7 інтервали монотонності розділені точками , , , , причому в точці функція не визначена, у точці похідна дорівнює нулю, у точці похідна не існує, у точці похідна дорівнює нескінченності.
Рис. 3.7.
Виходячи зі сказаного, можна сформулювати такий порядок дослідження функції на монотонність: - знайти область визначення функції; - знайти похідну функції; - знайти критичні точки. - критичними точками область визначення функції розбити на проміжки і досліджувати знак на кожному з проміжків. Говорять, якщо на проміжку , то це проміжок зростання, якщо ж , то це проміжок спадання. Приклад 3.18. Знайти інтервали монотонності функції . Розв’язання. Функція визначена на всій числовій прямій, крім точки , тобто її область визначення складається з інтервалів . Похідна функції дорівнює нулю при , тобто . Розв’язуючи рівняння, одержимо дві стаціонарні точки . Похідна не існує при . Одержали точки: , , , що розбивають область визначення функції на проміжки , , , . Знак похідної на кожному проміжку визначимо за значенням похідної в деякій, довільно обраній точці проміжку. Наприклад, знак похідної на проміжку визначимо за її значенням в точці: : , отже на цьому проміжку функція зростає. Провівши аналогічні дослідження, одержимо, що на проміжках і похідна функції від'ємна, отже тут функція спадає; на проміжку похідна функції додатня, значить тут функція зростає. Схематично результат дослідження зображено на рис. 3.8.
Рис. 3.8.
Екстремуми функції Нехай функція неперервна на деякому інтервалі, що містить у собі точку . Означення 3.5. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх значень з цього околу виконується нерівність (рис. 3.9, а). Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх значень цього околу виконується нерівність (рис. 3.9, б). Точки максимуму і мінімуму функції називають точками екстремуму. Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називають максимумом (мінімумом) функції чи екстремумом функції. Функція на даному проміжку може мати і декілька екстремумів, причому деякі з мінімумів функції можуть бути більше деяких її максимумів.
Рис. 3.9.
На рис. 3.10 зображена функція, у якої в точці максимум, а в точці – мінімум, причому . Але це не суперечить означенню екстремуму функції, оскільки в означенні екстремуму порівнюються значення функції в точці і деякому її околі. Говорять, що мова йде про локальні екстремуми.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; просмотров: 774; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.158.124 (0.008 с.) |