Неперервність функції в точці і на проміжку. Точки розриву

 

Мета заняття Вивчити та засвоїти поняття неперервності функції в точці та на проміжку, точок розриву. Навчитися визначати види точок розриву. Розвивати різні способи і прийоми мислення.

 

Студенти повинні знати: поняття неперервность функції в точці і на проміжку; точки розриву функції.

Студенти повинні вміти: з'ясовувати неперервність функції в точці і на проміжку, класифікувати точки розриву.

Основні питання теми

Вивчаючи функцію, ми називаємо однією з властивостей неперервність функції. Візуально ми розуміємо (дивлячись на графік), яка функція є непе-рервною, а яка розривна. Наприклад, функція у = х² є неперервною, а у = [х], як можна побачити, є розривною. Отже, розглянемо математичне означення неперервності функції та властивості неперервних функції.

1.Означення неперервності функції в точці та на проміжку;

2.Властивості неперервних функцій;

3.Поняття точки розриву функції;

4.Класифікація точок розриву;

5.Приклади.

 

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Якщо границя функції f(х) в точці х=а і значення цієї функції в точці х=а рівні, то функція називаєтьсяв цій точці...

а)диференційовною б)неперервною

в)розривною г)обмеженою

2.Якщо в точці не існує хоча б однієї з односторонніх границь функції, то ця точка називається...

а)точкою усувного розрива б)точкою неперервності функції

в)точкою розрива другого рода г)точкою стрибка функції

3.Якщо в даній точці області визначення функції односторонні границі існують, але не рівні між собою. то така точка називається...

а)точкою усувного розрива б)точкою неперервності функції

в)точкою розрива другого роду г)точкою стрибка функції

4.Різниця двох значень функції називається...

а)прирістом функції б)прирістом аргументу

в)спадом функції г)зростанням аргументу

5.Різниця двох значень аргументів називається...

а)прирістом функції б)прирістом аргументу

в)спадом функції г)зростанням аргументу

6.Коли при знаходженні границі функції в точці х ₀ значення аргументів знаходяться тільки праворуч від даної точки х₀, то така границя називається...

а)лівосторонньою б)правуосторонньою

в)односторонньою г)неіснуючою

7.Коли нескінченно малому прирісту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції, то така функція називається...

а)диференційовною б)неперервною на проміжку

в)розривною на проміжку г)обмеженою в точці

8. Коли при знаходженні границі функції в точці х ₀ значення аргументів знаходяться тільки ліворуч від даної точки х₀, то така границя називається...

а)лівосторонньою б)правуосторонньою

в)односторонньою г)неіснуючою

 

Завдання для самоперевірки

Визначити неперервність наступних функцій в заданих точках

а) у = 1/х в т.х = 0

б) у = х² + х в т. х = 1,2,5

в) у = 2х – 4 в.т. х = -3

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик„Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 183 – 189.

 

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.

Теми рефератів:

1.Леонард Ейлер та його трансцендентні числа е та π.

2.Порівняння нескінченно малих функцій.

3.Властивості функцій, неперервних на відрізку.

 

ЛЕКЦІЯ „Неперервність функції”

Основні поняття

Означення (Коші)

Функція у = f (x) називається неперервною в точ­ці х 0функцією, якщо ця функція f визначена в точці х 0 і для кожного (достатньо малого) числа існує число , таке що при виконується

або

f (x) — неперервна в точці х 0, якщо .

Відношення можна переписати у вигляді

Графічна ілюстрація

Рис. 1

Пояснення. Функція y = f (x) — неперервна в точці х ₀, якщо при будь-якому х з інтервалу значення f (x) лежать у смузі .

Дамо означення неперервності функції, еквівалентні означенню Коші

Означення. Функція y = f (x) називається неперервною в точці х₀, якщо

1) f (x) визначена в точці х ₀;

2) границя зліва в точці х ₀ дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню в ній функції (рис. 2):

.

Рис. 2

Означення. Функція у = f (x) називається неперервною в точці х ₀, якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Приклад. Довести за означенням, що функції y = x ² і y = sin x неперервні в будь-якій точці х ₀ Î R.

· 1. Надамо аргументу х ₀ Î R приросту D х, тоді .

Якщо D х — нескінченно мала величина, то D у — також нескінченно мала величина, оскільки коли D х ® 0, то і D у ® 0. Отже, y = x ²— неперервна функція при будь-якому х ₀ Î R.

2. Надамо аргументу х ₀ Î R приросту D х:

Якщо D х ® 0, то D у ® 0. Отже, функція y = sin x неперервна функція при будь-якому х ₀ Î R.

Означення. Функція у = f (x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Означення. Функція у = f (x) неперервна на відрізку [ а, b ], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Означення. Функція у = f (x) називається неперервною в точці х ₀ справа (зліва), якщо

Функція

неперервна в точці х ₀ зліва (рис. 3).

Рис. 3

Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.

Властивості неперервних функцій

Теорема 2. Нехай функції у = f (x) i y = g (x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:

1) f (x) ± g (x); 3)const g (x);

2) f (x) g (x); 4) f (x) / g (x), g (x) ¹ 0.

Теорема 3. Якщо функція у = f (x) неперервна в будь-якій точці х ₀ і u = F (y) неперервна в точці f (x ₀), то їх композиція
f о F — cкладена функція і u = F (f (x)) — неперервна в точці х₀.

Доведення. За означенням

Довести, що функція

неперервна в будь-якій точці х.

· Функція у є композицією двох неперервних функцій

і

Функція f (x) і F (x) неперервна згідно з теоремою 1, а їх композиція f о F неперервна за теоремою 3. ·

Розриви функції

Означення. Функція у = f (x), яка не є неперервною в точці х ₀, називається розривною в цій точці.