Числова послідовність. Границя числової послідовності. Теореми

Про границі. Нескінченно малі та нескінно великі послідовності

 

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання студентів з теми. Вивчити теореми про границі послідовностей.

Розвивати логічне мислення.

 

Студенти повинні знати: означення числової послідовності та її границі; теореми про границі послідовностиі; правила знаходження границь ч.п.; поняття збіжної, розбіжної, нескінченно малої та нескеінченно великої послідовностей.

Студенти повинні вміти: задавати числову послідовність; знаходити члени послідовності за формулою її загального члена; знаходити границі числової послідовності.

 

Основні питання теми

1.Числова послідовність; способи завдання; властивості;

2.Границя числової послідовності; геометричне тлумачення границі;

3.Збіжні та розбіжні послідовності;

4.Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності;

5.Теореми про границі: необхідна умова існування границі, єдиність гра-ниці, про представлення послідовності сумою її границі та нескінченно малої послідовності, сума двох нескінченно малих послідовностей, до-буток обмеженої та нескінченно малої, границя суми двох послідовнос-тей, границя добутку двох послідовностей, границя частки двох послі-довностей, зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою по-слідовностями; теорема Вейєрштрасса;

6.Число е;

 

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Якщо областю визначення функції є множина натуральних чисел, то функція називається...

а)натуральною функцією б)похідною послідовністю

в)первісною функцією г)числовою послідовністю

2.Якщо для будь-якого числа ε існує такий номер N, що при всіх n > N виконується нерівність |а_n – а| < ε, то число а називається...

а)обмеженням послідовності б)розбіжністю послідовності

в)границею послідовності г)збіжністю послідовності

3.Якщо послідовність не має границю, то вона називається...

а)збіжною б)розбіжною

в)нескінченно малою г)нескінченно великою

4.Якщо границя послідовності дорівнює "+" або " – " нескінченності, то вона називається...

а)збіжною б)розбіжною

в)нескінченно малою г)нескінченно великою

5.Якщо для будь-якого члена послідовності виконується нерівність: наступний член менший за попередній, то послідовність називається...

а)зростаючою б)спадною

в)незростаючою г)неспадною

6.Якщо послідовність а_n нескінченно мала, то послідовність 1/а_n буде...

а)обмеженою б)необмеженою

в)нескінченно великою г)нескінченно малою

7.Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу буде послідовністю...

а)обмеженою б)необмеженою

в)нескінченно великою г)нескінченно малою

8.Якщо послідовність має границю, то вона...

а)обмежена б)необмежена

в)стала г)неперервна

9.Будь – яка збіжна послідовність...

а)має тільки одну границю б)не має границі

в)має завжди дві границі г)є розбіжною

10.Границя суми двох нескінченно малих послідовностей є послідовністю...

а)обмеженою б)необмеженою

в)нескінченно великою г)нескінченно малою

 

Завдання для самоперевірки

1.Записати перші шість членів числової послідовності

а) х_n = (2n + 1)/n б)у_n = (n + (-1)ⁿn)/n

2.Довести, що наступна послідовність не має границі

х_n = (n + 1)/n, n = 1,3,5,….

1/n, n = 2,4,6,…

3.Куди прямують наступні послідовності?

а) х_n = n!

б) y_n = - n₃

в) z_n = n²cosπn.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 149 – 155.

Лекція „Послідовність. Границя послідовності і функції”

Означення. Якщо задана закономірність, згідно з якою кож­ному натуральному числу 1, 2, 3, …, відповідає деяке дійсне число, то говорять, що задано послідовність.

Послідовність можна розглядати як функцію, областю визна­чення якої є множина натуральних чисел.

Послідовність визначається формулою, тобто законом, згідно з яким установлюється спосіб відповідності заданих чисел послідовним натуральним числам. Послідовність із загальним членом а_n позначається , або просто а_n.

У прикладі: .

Інший спосіб визначення послідовності полягає в застосуванні рекурсії: n -й член послідовності визначається за допомогою заданих попередніх членів послідовності.

Рекурсія визначає послідовність 0, 3, 6, 9, ….

Рекурсія визначає послідовність 1, 2, 5, 27, 734, ….

Приклади послідовностей.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

Обмежені та монотонні послідовності

Означення. Послідовність називається обмеженою, коли існує таке додатне число М, що нерівність

виконується для всіх n.

Означення. Послідовність називається монотонно зростаючою (спадною), якщо

для всіх n.

Визначити, які з наведених далі послідовностей обмежені, а які монотонні.

1) 3)

2) 4) .

· За означенням відповідно обмеженої та монотонної послідовності маємо:

1) — обмежена послідовність;

монотонна спадна послідовність;

2) — необмежена послідовність;

3) — обмежена послідовність;

— монотонно спадна послідовність;

4) — послідовність обмежена;

, оскільки

— послідовність монотонно зростаюча. ·

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою зверху, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n, не обмежена зверху або знизу, називається необмеженою.

Послідовність , для якої

обмежена зверху та знизу: .

Послідовність , тобто

обмежена зверху, але не обмежена знизу.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою зверху, якщо існує число т, таке що для всіх виконується нерівність . Число т називається верхньою межею множини.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що для всіх, виконується нерівність . Число m називається нижньою межею множини.

Множина, для якої існують верхня та нижня межі, називається обмеженою.

Найменша серед верхніх меж називається супремумом і позначається . Найбільша серед нижніх меж називається інфімумом і позначається .

Означення. Точною верхньою межею множини Х називається значення , таке що:

1) для будь-якого виконується нерівність ;

2) для будь-якого знайдеться значення , таке що

.

Аналогічно означується точна нижня межа множини Х.

Теорема. У будь-якої обмеженої множини існують точні верхня та нижня межі.

Збіжні та розбіжні послідовності

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для кожного як завгодно малого додатного числа існує таке число , що

для всіх .

Позначення: .

Графічна ілюстрація

Рис. 1

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною.

Послідовність — збіжна, оскільки існує (за означенням для будь-якого ).

Зауваження. Послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нульовою послідовністю.

Послідовність розбіжна, оскільки не має границі. Вона почергово набуває значення + 1 і – 1.

Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. Границя сталої дорівнює цій сталій:

.

Доведення. Справді, для всіх n, тому

. ¨

Теорема 2. Якщо послідовність х_n має границю, то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай і , причому .

Для визначеності візьмемо, що і . Оскільки , то знайдеться число N, таке що при виконується нерівність

. (1)

А оскільки водночас , то знайдеться число N ₂, таке що при

. (2)

Візьмемо . При одночасно виконуються обидві нерівності (1), (2).

Оцінімо

,

тобто .

Це неправильна (хибна) нерівність. Дістали суперечність, яка й доводить теорему.¨

Теорема 3. Послідовність х_n, яка має границю, є обмеженою.

Доведення. Нехай . Візьмемо довільне , наприклад e = 1. Тоді знайдеться число N, таке що при всіх виконуватиметься нерівність . Звідси випливає:

.

Позначимо

.

Тоді для всіх n

,

тобто послідовність х_n обмежена.¨

Теорема 4. Нехай . Тоді знайдеться число N, таке що при будь-якому справджуватиметься нерівність

.

Доведення. Візьмемо довільне значення e, наприклад . Тоді знайдеться число N, таке що при виконується нерівність або . Тоді або .

Теорема 5. Нехай . Якщо послідовність x_n при всіх n задовольняє нерівність , то

.

Доведення. Припустимо супротивне, тобто .

Тоді згідно з теоремою 4 можна стверджувати, що починаючи з деякого номера n виконуватиметься нерівність

.

А це суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. ¨

Теорема 6. Якщо і , , то .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай . Тоді згідно з теоремами 4 і 5, починаючи з деякого номера виконуватимуться нерівності

.

Тоді , що суперечить умові. Отже, припущення неправильне. ¨

Означення. Перехід від нерівності до нерівності називається граничним переходом у нерівності.

Теорема 7 (про «охоплену» послідовність або теорема про двох міліціонерів). Нехай виконується нерівність . Якщо послідовності х_n і у_n збіжні, причому , то послідовність u_n також буде збіжною і .

Доведення. Візьмемо довільне . Тоді знайдеться число N, таке що при , виконується нерівність . Аналогічно, знайдеться число N ₂, таке що при виконується нерівність . Візьмемо . Тоді при виконуються одночасно обидві нерівності

або

Розглянувши підкреслені нерівності, запишемо:

.

Остаточно дістанемо , або , тобто для довільного можна знайти N, таке що при виконується нерівність , що означає, що . ¨

Розглянемо послідовність .

При всіх n виконується нерівність .

Оскільки то .·

Теорема 8. (Больцано–Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення. Розглянемо множину значень послідовності . Ця множина обмежена, тому вона має точну верхню і нижню межі. Для визначеності вважатимемо, що послідовність х_n монотонно зростає.

Позначимо і доведемо, що При всіх n за умовою теореми виконується нерівність Візьмемо довільне За означенням точної верхньої межі можна знайти значення , таке що . Оскільки послідовність монотонно зростає, то при маємо

Із нерівностей випливає: і

Це означає, що ¨

Число е

Розглянемо послідовність чисел . Обчислимо кілька перших значень членів послідовності:

Доведемо, що послідовність х_n монотонно зростає. За формулою бінома Ньютона маємо:

(3)

Замінимо в цьому розкладі n на n + 1. Тоді число доданків збільшиться на одиницю.

Далі маємо:

Кожний вираз, що містить n, зростає, тобто .

Доведемо обмеженість послідовності х_n.

У формулі (3) значення кожного виразу в дужках менше від одиниці. Отже,

За формулою суми геометричної прогресії маємо:

Звідси

За теоремою Больцано–Вейєрштрасса послідовність має границю.

Означення. Границя послідовності називається числом е.

Позначення:

Число е* — (так зване Неперове число).

Для кращого розуміння означення границі послідовності розглянемо приклади:

Приклад. Використовуючи означення границі послідовності довести, що .

Згідно з означенням границі послідовності для довільного треба знайти такий номер елемента послідовності N, що для всіх виконувалася б нерівність . Нехай вибрано , за цим e розглянемо , тоді і для будь-якого маємо: .

Проілюструємо одержаний результат табличкою:

e	0,5	0,1	0,01	0,001	0,0001	…
N						…

Тоді при , починаючи з , відповідні п можна брати з послідовності Для них . Якщо , а , то тепер п можна брати з послідовності і знову нерів­ність виконується. Отже, для будь-якого навіть нескінченно малого значення e можна знайти N, що для всіх нерів­ність виконується. Це й означає, що .

Приклад. Використовуючи означення границі функції, довести, що .

Згідно з означенням границі функції для будь-якого треба знайти таке , що для тих х, для яких виконується не-
рівність , виконується й нерівність . Нехай вибрано деяке , за ним знайдемо . Тоді .
Повернемося до нерівності: . Тобто
доведено, що .

З наведених прикладів зрозуміло, що завдання знаходження границі послідовності і функції з використанням означення досить складне. Формально для знаходження границі треба у вираз функції підставити число, до якого прямує х. Якщо в результаті підстановки одержується число, то воно дорівнює границі функції, але, як правило, за такої підстановки одержують так звану невизначеність вигляду: і т. п. Для розкриття невизначеності дещо перетворюють вираз функції, що стоїть під знаком границі, і використовують відповідні теореми теорії границь або одну з особливих границь.

Приклади. Знаходження границь:

1) .

2) .

3) .

4)
.

5)
.

6)
.

7)

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 149 – 155.

 

 

Тема 11