Нескінченно малі величини. Границя змінної.

III. Границі

Нескінченно малі величини. Границя змінної.

Нескінченно великі величини

 

В цьому розділі при вивчені границь для змінної величини будуть широко використовуватись співвідношення вигляду , . Перш ніж дати їх означення, звернемо увагу на те, що одним із засобів вивчення змінної є порівняння її значення із наперед заданими сталими величинами. Наприклад, вивчаючи зміну температури ми спостерігаємо за зміною стовпчика термометра і відносно зафіксованих поділок шкали можемо судити про підвищення або зниження температури, знайти її значення в даний момент. Значення напруги в електромережі вимірюють за допомогою вольтметра. Зміна положення стрілки відносно фіксованих поділок на шкалі прилада дає нам інформацію про зростання або спадання напруги. За рівнем води в річці, яка може спричинити повінь в даному місці, слідкують за допомогою вертикально закріпленої біля берега рейки з нанесеними на ній поділками. Відносно умовного нуля на рейці, так званого нормального рівня, можна встановити на скільки метрів рівень води підвищився або опустився, прослідкувати за нормалізацією рівня, коли його відхилення від нуля прямують до нуля.

Отже, значення змінної величини весь час порівнюються із наперед заданими сталими величинами, “поділками шкали”. В математичному аналізі значення малої наперед заданої величини прийнято позначати грецькими буквами – епсілон, або – дельта.

Означення 1. Змінна величина х називається нескінченно малою (н.м.) або прямуючою до нуля (позначається ), якщо в процесі зміни абсолютна величина х стане і залишиться меншою , де > 0 – як завгодно мале наперед задане число, тобто

. (1)

Якщо використати символ - будь-який довільний, для будь якого довільного, то означення 1 можна записати в символічній формі:

(2)

Методична порада. Означення 1 легше запам’ятається, якщо постаратись “озвучити” співвідношення (2). Звертаємо увагу на те, що х в означенні змінна величина.

Для кращого розуміння означення 1 рекомендуємо відповісти на такі запитання:

1. Чи можна вважати х н.м., тобто ,якщо умову в означені 1 змінити на x < ?

2. Чи можна вважати 0,00002 нескінченно малою величиною?

3. У циліндричну посудину, на стінках якої по вертикалі нанесено поділки, налита рідина, що витікає через відкритий в дні отвір, х – висота рідини відносно дна при цьому зменшується. Фіксуємо поділку ₁, процесі витікання висота х стає меншою ₁ (x< ε₁); фіксуємо нове значення ₂< ε₁, і теж стане х < ₂, і т.д. А тоді в якийсь момент закриємо отвір. Чи є х нескінченно малою величиною?

 

Означення 2. Змінна х називається прямуючою до числа _, або число є границею змінної (позначається , або ), якщо їх різниця , нескінченно мала, тобто .

 

Символічний запис:

(3)

або ж

. (4)

 

Нерівність (4) згідно з співвідношенням (8) (див. 1.3.) можна замінити еквівалентними

(5)

Означення 3. Інтервал вигляду (5), що містить точку називається -околом (читається: епсілом околом) точки . Позначається - окіл з ценром в точці радіуса . Рівносильним є співвідношення:

(6)

Означення 4. Якщо при функція , то називається нескінченно малою(н.м.) функцією.

Наприклад, н.м. при при ;

при .

Подібно тому, якщо буквою позначаються малі значення для порівняння нескінченно малих, то величини, що зростають, порівнюються із сталими, які позначаються буквою .

Означення 5. Змінна величина називається нескінченно великою або прямуючою до нескінченності (позначається ), якщо в процесі зміни абсолютна величина стане більшою числа , де – як завгодно велике наперед задане число, тобто

В символічному записі співвідношення

(7)

еквівалентні.

Якщо ж і , то пишуть , і якщо , то пишуть .

При вивченні послідовностей приходиться розглядати окремий випадок нескінченно великої змінної , яка приймає значення натуральних чисел . При цьому значення змінної порівнюються з як завгодно великим наперед заданим натуральним числом . Скорочено , тобто натуральне число є нескінченно великим, або прямуючим до , якщо в процесі зміни воно стане більшим як завгодно великого наперед заданого натурального числа .

Зустрічаються випадки, коли , тоді пишуть .

Якщо кожному натуральному значенню числа ставиться у відповідність дійсне число , то маємо послідовність чисел або скорочено .

Серед послідовностей теж будемо виділяти н.м.

Означення 6. Якщо при значення деякої послідовності , то така послідовність називається нескінченно малою або, ще говорять, збіжною до нуля.

Точніше, якщо в означенні 6 перейти до нерівності згідно з означенням 1 нескінченно малої, то отримаємо рівносильне означення.

Послідовність називається н.м. (позначається ) при , якщо для довільного як завгодно малого існує номер , який залежить від , такий, що для всіх наступних номерів , виконується нерівність

.

Або якщо ввести ще символ – існує (знайдеться), то в символічному записі маємо:

Приклади.

1. при .

2. при .

За аналогією з означеннями 5 та 6 можна говорити про нескінченно великі функції при та н.в. послідовності при .

Означення 7. Якщо функція при , то її називають нескінченно великою, тобто для існує число таке, що із нерівності

.

Означення 8. Послідовність називається нескінченно великою при , якщо , тобто для натуральне таке, що із нерівності

.

 

Наприклад:

1. при .

2. при .

 

 

Нескінченно великими

 

Нехай при , тобто є н.м. функціями. Що можна сказати про їх суму

при ?

Теорема 1. Сума двох нескінченно малих функцій (послідовностей) є величиною нескінченно малою, тобто

(8)

аналогічно для послідовностей

(9)

 

Доведення здійснимо на прикладі послідовностей. Дійсно, із при маємо, що для можна знайти номер такий, що з нерівності . Аналгічно для того ж знайдеться номер такий, що із нерівності . Тепер для даного і номера із нерівності .

Отже, н.м.

Аналогічними міркуваннями доводиться теорема для н.м. функцій.

Наслідок. Сума скінченного числа нескінченно малих функцій (послідовностей) є величиною н.м.

.

Зауваження. Вимога скінченної кількості доданків в наслідку є суттєвою. Це видно із наступних прикладів.

Нехай і . Розглянемо випадки.

1. стала величина.

2. н.м. величина.

3. н. велика величина.

Отже, якщо кількість доданків необмежено зростає то, результат додавання н.м. може бути неоднозначним. Такі випадки вивчаються в математичному аналізі в розділі “Ряди”.

Означення. Функція називається обмеженою в області , якщо існує число таке, що для всіх виконується нерівність

.

Аналогічно, послідовність – називається обмеженою, якщо існує число таке, що для всіх натуральних виконується

нерівність .

Теорема 2. Добуток нескінченно малої величини на обмежену є нескінченно малою, тобто

(10)

і для послідовностей

(11)

Доведення на прикладі послідовностей. Для довільного як завгодно малого можна вибрати номер такий, що для натуральних буде виконуватись нерівність бо при , де число вибране із умови . Отже, тоді .

Теорема 3. Величина обернена до нескінченно великої є нескінченно малою. Навпаки, величина обернена до нескінченно малої є нескінченно великою, напр., для послідовностей

(12)

(13)

Аналогічні співвідношення між н.м. і н.в. функціями.

Приклади.

1. Якщо при , то при .

2. Якщо при , то при .

 

Властивості границь

 

Теорема 1. Якщо функцію при можна представити у вигляді суми сталої і нескінченно малої , тобто

, (1)

то

( – скінченне або ). (2)

Навпаки, якщо , то можна записати

де н.м. при .

Дійсно, нехай тоді де н.м. при , тобто для таке, що із нерівності нерівність , або , а це і значить, що має місце рівність (2).

Навпаки, нехай виконується рівність (2). А це означає, що для таке, що із Позначимо , тоді остання нерівність означає, що

тобто н.м.

Наслідок. Якщо то тобто границя сталої величини дорівнює цій сталій.

Дійсно, за теоремою 1 маємо або буде меншою .

Теорема 2. Нехай існують скінченні границі і .Тоді ,

за умови, що .

Доведемо, наприклад, другу рівність. За теоремою 1(формула 1) з того, що і маємо: де і – н.м. при . Розглянемо добуток н.м. За теоремою 1 маємо, що число є границею функції при , тобто

Рівності перша і третя теореми 2 доводяться аналогічно.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі, тобто якщо то

оскільки

Означення 1. Функція називається обмеженою при , якщо існує окіл з центром в точці , в якому функція обмежена.

Означення 2. Функція називається обмеженою при , якщо існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , функція обмежена.

Теорема 3. Якщо границя є скінченною, то функція обмежена при .

Доведення дамо, коли скінченне. Із рівності випливає, що для існує таке, що із випливає тобто обмежена.

 

 

Односторонні границі

 

Будемо розглядати процес, коли змінна , але при цьому залишається меншим , тобто зліва. Цей факт позначають (зл. – зліва), або зручніше записувати . Аналогічно, якщо і то будемо говорити, що справа, позначають або .

Означення. Число називається лівою границею функції в точці , якщо вона визначена на деякому напівінтервалі і для неї існує .

Аналогічно, якщо визначена в напівінтервалі і існує , то називається правою границею функції .

Ліва – і права границі називають односторонніми. Їх ще прийнято позначати

Зауваження. Рівності

еквівалентні , тобто якщо односторонні границі існують і рівні в точці , то існує границя функції .

Якщо ж односторонні границі різні, тобто

або хоча б одна з них не існує, тоді не існує й границя функції при .

 

 

3.7. Невизначеності. Приклади знаходження деяких границь

При знаходженні границі ми використовуємо їх властивості, зокрема теорему 2 із 3.4. Можуть виникати такі випадки.

1. Якщо функція визначена в точці , то

,

тобто границя функції збігається з її значенням в точці .

2. Якщо ж функція в точці невизначена або , то можуть зустрітись співвідношення вигляду: , які називаються невизначеностями.

 

В більшості таких прикладів для знаходження границі над функціями, що стоять під знаком необхідно виконати певні тотожні перетворення, або ще говорять: “позбавитися невизначеності” або “розкрити невизначеність”. А там, де невизначеності не зустрічаються, розв’язання здійснюються у відповідності теореми 2 та властивостей.

Розглянемо кілька конкретних прикладів з поясненнями

1) Знайти згідно теореми 2, а також =

за наслідками із 2.4

=

тобто границя функції збігається з її значенням, бо .

 

2)

Оскільки функція в точці невизначена, і то теорему 2 не можна застосовувати. Робимо перетворення.

=

 

=

Ф-я – обмежена – н.м., оберненна н.в., добуток їх – н.в.

=

.

3)

В точці ф. невизначена корінь чисельника і знаменника. Розклад на множники

=

 

=

оскільки і, то на скорочуємо

=

 

Зауваження. У загальному випадку, якщо

то необхідно зробити тотожні перетворення так, щоб і тоді замість

розглянути

Це, зокрема, стосується випадку, коли , тоді за допомогою тотожності

(1)

отримаємо

де .

Аналогічно для береться тотожність

(2)

тоді

4)

5)

6) див. формулу (2) =

 

 

3.8. Границя дробово раціональної функції при х ®¥

 

Розглянемо спочатку наступний приклад

7)

= (добуток н.в. на обмежену є н.в.) = ¥.

З даного прикладу можна зробити висновок, що у випадку многочлена із степенями різних знаків при може бути невизначеність . Щоб її розкрити необхідно винести старший степінь за дужки. Враховуючи цей висновок, розглянемо границю дробово раціональної функції (див. 1.9) при .

 

В кожній з дужок обмежені величини. Можливі три випадки:

1) , тоді степені скорочуються і границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях ;

2) , тоді після скорочення в чисельнику залишиться , тому границя дорівнює ¥;

, тоді після скорочення в знаменнику залишиться , а обернена до неї при , в границі отримаємо . Отже

(1)

Перша важлива границя

 

Першою важливою називається границя

(1)

Для доведення (1) будемо виходити із геометричних міркувань (див. рис. 24)

 

 

Рис. 24

 

Оскільки , то вважаємо, що кут 2 –гострий центральний кут в колі радіуса . Довжина хорди очевидно менша довжини дуги , а дуга очевидно менша довжини ламаної , тобто

Із . Довжина дуги . Із довжина дотичної . Отже, нерівність запишеться

За теоремою 1 із 2.5 про границю нерівностей маємо

що рівносильно (1).

На основі (1) отримаємо ще кілька необхідних формул.

. (2)

 

заміна

. Якщо

то

(3)

Аналогічно

(4)

(5)

Приклади.

1.

2. Заміна =

3.

 

Друга важлива границя

Так називається рівність

. (1)

За формулою (1) розкривається невизначенність вигляду .

Для доведення (1) перетворимо співвідношення (2) із 3.10.:

Перейшовши формально до границі під знаком логарифма в останній рівності, отримаємо

(2)

Замінимо в (2) (при ) одержимо рівносильну рівність (1).

Зауважимо, що перехід до границі під знаком логарифма ми здійснили формально. Для його строгого обгрунтування потрібно послатись на властивість неперервності цієї функції. Мова про це піде пізніше.

 

Приклади

1.

 

2. Виділяємо цілу частину =

 

3.

, оскільки

 

Таблиця основних еквівалентних н.м.

 

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

Формули 1–7 були отримані в попередніх параграфах. Розглянемо останню.

Заміна =

=

Наведена таблиця використовувається при розкритті невизначеностей.

Нехай н.м. і мають своїми еквівалентними і , тобто Тоді має місце теорема.

Теорема 1. Границя відношення двох н.м. функцій дорівнює границі відношення їх еквівалентних величин, тобто

Дійсно,

Приклад.

1.

Теорема 2. Якщо і – еквівалентні н.м. (» ), тобто

то їх різниця – є н.м. вищого порядку ніж або .

Дійсно,

Теорему 2 треба мати на увазі при знаходженні границь.

Розглянемо

Хоча і є н.м. першого порядку в порівнянні з , їх різниця матиме більш високий порядок, тому використання таблиці не допоможе. В даному випадку необхідно перетворити

Тепер

Отже, згідно з означенням 3 можна зробити висновок, що є н.м. третього порядку в порівнянні з