Границя послідовності та її властивості

Нехай метричний простір. Послідовність в Е, це функція : N→E i _n = (n) E, яку будемо позначати { _n}

Означення. Послідовність { _n} має границю = у просторі якщо: .

Якщо Е - нормований простір з нормою , то означення має вигляд: послідовність { _n} має границю = у просторі Е якщо: .

Якщо:

1. E = R, означення має вигляд: = якщо: .

2. Е = Rⁿ х=( ₁,..., _n) х_k = , означення має вигляд: х= якщо:

.

 

Приклад. , довести, що =0.

Доведення. Розглянемо нерівність , тоді , тобто існує

для якого виконується твердження:

. Отже

 

Загальне визначення границі послідовності можна сформулювати в геометричному стилі.

Означення. Для будь-якого околу V точки х існує номер N(V), n>N: x_n V.

Останнє означення знадобиться коли Е - топологічний простір, але коли Е - метричний простір, то збіжність (існування границі) послідовності - властивість топологічна, а не метрична.

Приклад. Нехай E = R¹ _n = (—1)ⁿ.Тоді { _n} не має границі. Це випливає з того, що для будь-якого R¹ обираючи окіл , що не містить 1 або -1 маємо не виконання означення, тобто - не є границя .

Властивості границі.

Теорема 1. Якщо послідовність має границю у топологічному просторі Е, то вона єдина.

Доведення. Припустимо, що має дві границі в Е - і b. За аксіомою Хаусдорфа Ø, V i W околи i b відповідно. Тоді і і , що суперечить Ø. Таким чином наше припущення невірне.

Означення. Нехай n₁<n₂<… будь-яка зростаюча послідовність натуральних чисел. Частину елементів послідовності з номерами n₁, n₂, … будемо називати підпослідовністю послідовності .

Теорема 2. Нехай Е - топологічний простір, тоді для того, щоб мала границю необхідно і достатньо, щоб будь-яка підпослідовність послідовності мала границю причому одну і ту ж.

Доведення слідує з означення границі. (Провести самостійно).

Теорема 3. Нехай Е - метризований простір і послідовність збіжна в Е, тоді множина обмежена.

Доведення. Нехай .

Нехай = max( (x, x₁),..., (x,x_N), ), тоді (х, х_n) , тобто належить кулі радіуса .

Зауваження. 1. Якщо E=R¹, то збіжна послідовність означає, що існує М, таке що .

2. Якщо E=Rⁿ, то обмеженість означає, що існує М, таке що .

Теорема 4. Для того, щоб точка метризованого простору Е була граничною для А, необхідно і достатньо, щоб

Доведення.

Достатність. У випадку виконання умови для будь-якого околу V точки , V містить точки послідовності, тобто точки А, отже — гранична точка для А.

Необхідність. Нехай А'. Розглянемо кулю з центром у точці радіуса . У ній існує _n А, . Послідовність .

Лекція №10

Послідовності в R¹ та в Rⁿ

Властивості пов’язані з діями над послідовностями дійсних чисел.

Нижче розглянемо властивості числових послідовностей, тобто послідовностей таких, що

Теорема. Нехай і , тоді - збіжні і , = , = .

Доведення. Доведемо рівність = . Оскільки має границю, то М, .

Маємо:

Отже = .

Доведення інших рівностей провести самостійно.

Приклад. Обчислити .

= = =

 

Означення. Послідовність - нескінченно мала, якщо =0: .

Властивості:

1. Скінчена сума нескінченно малих послідовностей — нескінченно мала послідовність.

2. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність - нескінченно мала послідовність.

Означення. Послідовність - нескінченно велика, якщо .

Властивості.

1. Послідовність, обернена до нескінченно малої є нескінченно велика.

2. Послідовність обернена до нескінченно великої є нескінченно мала.

Доведення властивостей нескінченно малих та великих послідовностей слідує з означеної вище властивості та означення границі.

 

Теорема Вєйєрштрасса про монотонну послідовність. Число е.

Теорема. Для того, щоб монотонно зростаюча (спадна) числова послідовність мала скінчену границю необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена зверху (знизу).

Доведення.

Необхідність. Слідує з властивостей послідовностей, що збігаються.

Достатність. Нехай зростаюча числова послідовність обмежена зверху, тоді існує . З означення виконується властивості:

1. .

2.

Отже: , тобто виконується означення границі послідовності і . Аналогічно доводиться випадок спадаючої числової послідовності.

Приклад. Число е.

Покажемо, що існує

Розглянемо послідовність Покажемо, що вона – спадна:

(Нерівність випливає з нерівності Бернуллі)

За теоремою Вєйєрштрасса існує скінчена границя послідовності . Тоді - існує. Позначимо