Властивості замкнених множин.

1. Множини Е, Ø - замкнені;

2. - замкнена, якщо В_і – замкнені;

3. - замкнена, якщо В_і – замкнені;

Доведення провести самостійно.

Зауваження. Існують підмножини, що не є ні замкненими ні відкритими.

Наприклад:

Означення. Околом точки Е називається довільна підмножина Е, яка містить точку разом з деякою відкритою кулею з центром в .

Теорема. Для того, щоб підмножина А простору була відкритою необхідно і достатньо, щоб вона була околом кожної своєї точки.

Доведення. Нехай А - окіл кожної своєї точки. Тоді разом з точкою А містить кулю з центром в . Тоді, А - відкрита множина. Навпаки, якщо А - відкрита множина і А, то існує відкрита куля з центром в , який міститься в А, значить, А - окіл точки .

Означення. Замиканням підмножини А називається перетин усіх замкнених підмножин Е, які містять А.

- замкнена (за властивістю замкнених множин).

- мінімальна замкнена множина, що містить А.

Приклад: .

Означення. Точка Е називається граничною точкою підмножини А, якщо у будь-якому околі точки є точки множини А, відмінні від .

Теорема. Замкнена множина містить усі свої граничні точки.

Доведення. Нехай - гранична точка для множини В. Припустимо, що - відкрита множина. Тоді існує відкрита куля з центром в , що належить СВ, тобто не має спільних точок з В. Прийшли до суперечності, отже, замкнена множина містить усі свої граничні точки.

Теорема. одержується з А шляхом приєднання до А її граничних точок. (Доведіть самостійно)

Нижче - множина граничних точок множини А.

Лекція №7.

Неперервні функції. Гомеоморфізми.

Означення неперервної функції та її властивості

Нехай : E F (E, F - метричні простори з відповідними метриками )

Означення. Функція неперервна в точці Е, якщо для така, що для будь-якого х Е такого, що випливає, що .

Іншими словами це означення можна перефразувати:

Означення. Функція - неперервна в точці Е, якщо для будь-якої кулі у просторі F з центром в () існує куля у просторі Е з центром в , образ якої при відображенні міститься у першій кулі.

Означення. Для будь-якого околу точки () існує окіл U точки , що (U) .

Іншими словами: Прообраз при відображенні будь-якого околу точки () є околом точки . Крім того, функція : E F неперервна на Е, якщо вона неперервна у будь-якій точці х Е.

Приклад.

1. = const, : E F

2. Е = F = R₁ (x) = х - неперервна.

3. E = R² F = R_l (x,y) = x, (x,y) = у - неперервні.

Зауваження. В першому означенні використовується метрика, а в означеннях 2, З - тільки відкриті множини і околи.

Теорема. Для того, щоб відображення метричного простору Е на метричний простір F було неперервним, необхідно і достатньо, щоб прообраз при відображенні довільної відкритої множини F був відкритою множиною в Е.

Доведення.

Необхідність: нехай відображення неперервне, а В F відкрита множина і . Якщо А, то, так як відображення неперервне в і В - окіл (), то А – окіл . Тобто А - окіл кожної своєї точки, А - відкрита множина.

Достатність: нехай Е і V - окіл точки (). Тоді V містить відкриту підмножину В, що містить (). Прообраз - відкрита множина, окіл , що доводить неперервність .

Зауваження. Теорема справедлива, якщо замінити відкриту множину на замкнену.

Зауваження. Прообрази у теоремі не можна заміняти на образ. Наприклад, = const - неперервна функція, проте відкриту множину переводить в одну точку (замкнену множину).

Теорема. Норма в нормованому векторному просторі Е, яка розглядається як відображення з природною метрикою, є неперервною функцією.

Доведення. Враховуючи нерівність маємо, що з нерівності випливає ,

тобто неперервна

Теорема. Композиція двох неперервних відображень - неперервна.

Доведення. Нехай : Е F g: F G (E, F, G - метричні простори) і h = . Нехай - неперервна в довільній точці Е, a g - неперервна в b = () F. Візьмемо для с = h()=g(b) довільний окіл W G. Так як g - неперервне відображення в b, то V= (W) окіл b в F, а так як - неперервне в , то (V)= ( (W)) окіл . З того, що випливає неперервність h в , а отже, і в E.

Гомеоморфізми.

Означення. Гомеоморфізмом метричного простору Е на метричний простір F називається бієкція Е на F, неперервна разом зі своєю оберненою функцією.

Теорема. Для того, щоб бієктивне і неперервне відображення : Е F було гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб образ при відображенні кожної відкритої множини із Е був відкритим в F. (Аналогічно із замкненим).

Метричні простори Е і F гомеоморфні, якщо існує хоча б один гомеоморфізм просторів Е і F. У цьому випадку обидва простори мають однакові топологічні властивості, тобто властивості, що стосуються відкритих, замкнених множин та околів.

Приклад. .

Лекція №8.