Означення та неперервність елементарних функцій.

Як приклад застосування властивостей та теорем доведених у минулих лекціях означимо елементарні функції на та доведемо їх неперервність.

Степенева функція.

Розглянемо функцію яка, згідно з властивостями неперервних функцій, неперервна як добуток n неперервних функцій .

Крім того, функція як композиція неперервних функцій теж є неперервною на всій множині.

Отже степенева функція з раціональним показником (якщо то і означена вище, якщо , то і ) - коректно означена на і неперервна на всій множині.

Не складно довести, що функція строго зростаюча, а строго спадаюча.

Крім того, виконуються всі властивості степенів, доведення котрих ми залишаємо для самостійної роботи.

Показникова функція.

Нехай довільне число. Тоді для будь-якого , згідно з існуванням степеневої функції, існує число і виконуються властивості:

1. Якщо , то .

Доведення. Оскільки , то для будь-якого . Тоді для будь-якого , тобто або для будь-якого . Отже

.

2.

Доведення. Спочатку покажемо, що .

(за нерівністю Бернуллі). Отже при і з властивості граничних переходів в нерівностях маємо, що при . Таким чином .

Покажемо, що . Нехай при . Для кожного існує таке, що при (оскільки ). Тоді

.

Оскільки при (з вище доведеного) то згідно з властивостями граничних переходів в нерівностях маємо, що . Оскільки рівність доведена для будь-якої послідовності , при , то за ознакою Гейне існує і дорівнює 1.

Введемо означення показникової функції для .

Якщо , то (згідно з наслідками принципу Архімеда) існує такі, що , отже . Для будь-яких і . Таким чином множина обмежена зверху, а множина обмежена знизу, отже існують числа (з означень точної верхньої та нижньої границі). Покажемо, що . За означенням маємо , де , отже . Оскільки при , маємо: таке, що якщо , то , звідки .

Означення. Для будь-якого визначимо Таким чином, для будь-якого коректно визначена показникова функція .

Властивості показникової функції.

1. При функція строго зростаюча. Дійсно, якщо , то існують і , (згідно принципу Архімеда). Отже за означенням та попередньо доведеної властивості 1, маємо

.

2. Функція () неперервна на .

Покажемо, що значення заповнюють множину . Нехай і Ø.

Оскільки з нерівності , то для маємо . З аксіоми повноти, існує такий, що для . Покажемо, що .

Якщо то, оскільки при , існує , що , але з нерівності (у зв’язку з тим, що розділяє множини А і В). Однак, за означенням множин А і В, маємо Ø, це протирічить вище отриманим включенням. Отже наше припущення невірне, тобто . Аналогічно отримаємо, протиріччя, якщо припустимо , тобто .

За теоремою про монотонну функцію, яка заповнює значеннями проміжок, маємо що неперервна на .

Якщо то , де і функція визначена і неперервна (за властивостями неперервних функцій) та спадаюча на .

Логарифмічна функція.

Функція обернена до функції називається логарифмічною функцією . За теоремою про обернену функцію вона існує та неперервна і монотонна (в залежності від ). З властивостей степенів виконується відповідні властивості логарифмів, які ми залишаємо на самостійне вивчення.

Степенева функція з довільним показником.

Нехай , тоді степеневою функцією з показником визначимо функцію яка існує та неперервна, за теоремою про композицію неперервних функцій.

 

Лекція № 17

Повні простори. Зв'язок повноти і компактності. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку.

Означення і ознаки повноти.

Означення. Нехай в метричному просторі Е задана послідовність . Говорять, що це послідовність Коші (фундаментальна), якщо:

(властивість метрична, а не топологічна).

Властивості.

1) Якщо послідовність { } збіжна, то вона є послідовність Коші.

2) Будь-яка послідовність Коші обмежена.

3) Будь-яка підпослідовність послідовності Коші сама є послідовністю Коші.

4) Якщо послідовність Коші має граничну точку, то вона збігається до неї.

Означення. Метричний простір Е називається повним, якщо будь-яка послідовність Коші збіжна в даному просторі.

Теорема. Будь-який метричний простір Е, усі замкнуті кулі якого компактні, повний. В частинному випадку: повний, будь-який метричний, компактний простір; будь-який скінчено вимірний нормований векторний простір.

Доведення. Оскільки кожна послідовність Коші обмежена, то міститься в деякій замкнутій кулі В, тобто в деякому компакті. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса вона має граничну точку. Отже, послідовність збігається до цієї граничної точки і простір Е повний.

Наприклад. 1. -повний за теоремою.

2. - не є повною множиною.

Будь-який метричний простір можна доповнити до повного. Тому, як правило, розглядаються тільки повні простори.

2. Ознаки Коші для границі послідовності і функції в R¹. Повнота R¹, Rⁿ.

Для R¹ з попередньої теореми маємо:

Теорема (Критерій Коші). Для того, щоб { } мала кінцеву границю необхідно і достатньо, щоб .

Аналогічна властивість справедлива в Rⁿ.

Критерій Коші для границі функції:

Теорема. Нехай ():R¹ R¹, тоді для того, щоб вона мала границю при необхідно і достатньо, щоб

Доведення провести самостійно.

Аналогічна властивість справедлива для ():Rⁿ R¹ (сформулювати самостійно).

3. Теорема про нерухому точку.

Означення. Відображення , де Е - метричний простір, називається стискаючим відображенням, якщо що для .

Наприклад: гомотетія з коефіцієнтом k < 1.

Легко бачити, стискаюче відображення - рівномірно неперервне відображення.

Означення. Точка називається нерухомою точкою , якщо .

Теорема. Кожне стискаюче відображення повного метричного простору в себе має нерухому точку, і до того ж єдину.

Доведення. Покажемо єдність: нехай такі, що , - це можливе коли (оскільки k<1) .

Покажемо існування нерухомої точки. Нехай довільна точка . Покладемо

,…. Покажемо, що { } - послідовність Коші.

Припустимо, що . Тоді

. Отже при , так як

Таким чином, { } - послідовність Коші і значить прямує до деякого . В силу неперервності () отримуємо: , тобто - нерухома точка.

 

Зауваження. Оцінка дає швидкість збіжності до .

Практичне заняття № 16