Тема: відношення, функції. Дії над функціями

Основні відомості: Означення відношень, функцій.

Обернена функція.

Композиція функцій.

Образ, прообраз. Бієкція.

Задачі

1. Відношення, функції.

1.1 Нехай Х=[0, 1] Y=[0, 1]. Побудувати відношення в , яке не є функцією і функціональним відношенням.

1.2 Нехай X=R², Y=R¹. Побудувати функцію в , яка містить 3 елемента.

2. Дії над функціями. Образ, прообраз функції.

2.1 Нехай . Довести:

1). якщо ; 2). .

2.2 Нехай . Довести:

1). якщо ;

2). .

2.3 Нехай - ін’єкція, то .

2.4 Довести, що якщо та - бієкції, то - бієкція і .

2.5 Найти f(f(x)), якщо .

2.6 Знайти якщо

Задачі для самостійного розв’язування.

1. Побудувати функціональне відношення в , в якому будуть використані всі елементи .

2. Нехай Х= , Y=R¹. Побудувати функціональне відношення та відношення, яке не є функціональним в .

3. Довести , тоді .

4. Довести , тоді .

5. Побудувати приклад, коли .

6. Нехай ін’єктивно. Довести, що

7. Довести, що відображення задане співвідношення - бієкція.

8. Довести, що відображення відображення задане рівняння F(x)=(x, f(x)) –ін’єктивне.

9.Показати, що , та

10. f(x)=ax+b. Знайти .

11. f(x, y)=ax+by+c. Чи має f(x, y) обернену функцію.

12. Навести приклад - сюр’єкція. 13. Навести приклад - ін’єкція.

14. Навести приклад - сюр’єкція 15. Нехай f(x)=ax²+bx+c: (a>0) – бієкція.

16. . Знайти f(f(x)). 17. . Знайти f f(x).

18. . Знайти f(f(f(x))).

Лекція №3.

Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда.

Класи чисел

Означення. Множина називається індуктивною, якщо

Приклад.

Означення. Множиною натуральних чисел N називається найменша індуктивна множина, що містить 1(1,2,3,...).

Принцип математичної індукції. Якщо підмножина Е N така, що 1 Е і разом з х Е число х +1 Е, то E=N.

Означення. Об'єднання множини N, множини чисел, протилежних N і {0} називається множиною цілих чисел Z.

Означення. Числа виду , m Z, n N називаються раціональними числами, а множину цих чисел називають множиною раціональних чисел Q.

Означення. Дійсні числа, які не є раціональними називаються ірраціональними. Загалом отримали: N Z Q R

Алгебраїчне число - корінь рівняння а_охⁿ + a₁x^n-1 +... + а_n =0 a_i Q в протилежному випадку число трансцендентне.

( - трансцендентне число (1882 p.); - трансцендентне, - алгебраїчне, - ірраціональне (проблема Гілберта)).

Покажемо, що Ø

Доведемо, що існує, і - число ірраціональне.

Розглянемо дві множини X, Y такі, що , , 1 Х, 2 Y- множини X і Y - не порожні.

І. Покажемо, що s² = 2.

1) Припустимо, що s² < 2. Розглянемо s+ . Відомо, що , розглянемо

де

, .

Отже , прийшли до суперечності, припущення s²<2 – невірне.

2) Припустимо s² >2, тоді <s. Міркуючи аналогічно як і в попередньому прийдемо до суперечності, тобто припущення s² > 2 знову невірне.

Залишається єдине – s² =2.

II. Доведемо, що s - ірраціональне. Припустимо, що s - раціональне. Тоді за означенням нескоротний дріб.

- парне число, значить m - парне: m = 2к; ; ; 2k²=n²; отже n-парне, n=2p - скоротний дріб, отже припущення невірне, тобто s - ірраціональне.

Принцип Архімеда. Наслідки.

Теорема 1. У будь-якій не порожній підмножині множини N існує максимальний елемент.

Доведення. Нехай A N, c = sup A (існує за теоремою про верхню границю). Тоді . Маємо: n =max A, оскільки усі натуральні числа, які більші n, не менші n+1, тобто n+1> c і не містяться у множині А.

Наслідок. Множина N необмежена зверху.

 

Теорема 2. У будь-якій не порожній обмеженій зверху підмножині множини Z існує максимальний елемент,

Доведення. Аналогічно доведенню теореми 1.

Наслідок. Множина Z необмежена зверху.

Самостійно сформулювати та довести властивості аналогічні теоремам 1,2 для мінімального елемента.

 

Принцип Архімеда. Нехай х - довільне дійсне число, a h- довільне додатне число. Тоді існує єдине ціле число k, для якого .

Доведення. Розглянемо множину - не порожня (оскільки Z - необмежена зверху) обмежена знизу підмножина множини цілих чисел. В ній існує єдиний мінімальний елемент k, тобто , тоді .

Наслідки.

1.

Доведення. За принципом Архімеда при х=1 і h= 1<n .

2. Якщо у - довільне дійсне невід'ємне число, і для будь-якого натурального числа n маємо , то у = 0.

 

Доведення. Якщо y>0, то h=y, x=1 одержуємо, що тобто , що суперечить даній властивості. Маємо невірне припущення, отже у=0.

 

3. Для будь-яких дійсних чисел а і b таких, що a<b існує число r Q таке, що a<r<b.

Доведення. Візьмемо n N, таке що . Тоді існує k таке, що (за принципом Архімеда). При цьому , так як в протилежному випадку і , що суперечить вибору n. Тоді буде шуканим, a<r<b.

Практичне заняття №3