Властивості і ознаки компактності.

Теорема. Для того, щоб топологічний простір Е був компактним, необхідно і достатньо, щоб з будь-якої множини замкнених підмножин Е, перетин яких порожній, можна було вибрати скінченну множину підмножин з порожнім перетином.

Доведення. Нехай замкнені множини такі, що Ø. - відкриті множини. Оскільки Ø, - відкрите покриття Е. Тоді компактність Е означає існування скінченого числа , таких що = Ø і навпаки.

Наслідок. Якщо простір Е - компактний, а спадна послідовність замкнених множин Е, перетин яких порожній, то , що множина - порожня.

У випадку Е= ця властивість називається лемою про вкладені відрізки: Нехай є система вкладених відрізків , тоді існує таке, що . Якщо при цьому , то таке - єдине.

Теорема. Нехай Е - метричний простір, а F- компактна підмножина Е. Тоді F є замкненою множиною в Е.

Доведення. Нехай - гранична точка F. Покажемо, що Позначимо , де — замкнена куля з центром в , отже, F_n - спадна послідовність замкнених множин в F. Жодна з F_n не порожня в силу того, що - гранична для F, а оскільки множина F компактна, тоді Ø. Однак, , тобто .

Зауваження. Замкненість не гарантує компактності. Прикладом є простір R¹.

Теорема. Будь-яка замкнена підмножина компактного простору є компактним простором.

Доведення здійснюється за допомогою необхідної та достатньої умови у термінах замкнених множин.

Повернемося до ситуації нормованого простору.

Теорема. Для того, щоб підмножина скінченовимірного векторного нормованого простору Е була компактною, необхідно і достатньо, щоб вона була замкненою і обмеженою.

Доведення.

Необхідність випливає з доведених властивостей в загальній ситуації.

Достатність. Припустимо спочатку, що і норма . Будь-яка обмежена підмножина міститься в деякій кулі, в нашому випадку замкненому обмеженому паралелепіпеді, тобто міститься в деякому компакті. Оскільки підмножина замкнена, то за попередньою теоремою вона - компактна. Нехай Е - довільний нормований скінченовимірний простір. Обираючи в Е базис , одержимо, що однозначно відповідає точка . Нехай - норма в Е. Розглянемо в Е норму означену вище, вона еквівалентна нормі (див. попередні лекції), отже поняття (замкнений, обмежений, компактний) одні і ті ж для цих норм.

Повторюючи все, що було сказане вище, у випадку простору Е з нормою , маємо, що замкнена і обмежена підмножина Е компактна у топології, що задана нормою , отже вона буде компактна у просторі Е з нормою .

Теорема Больцано-Вєйерштрасса.

Теорема. Для того, щоб метризований простір Е був компактним, необхідно і
достатньо, щоб будь-яка послідовність елементів з Е мала принаймні одну граничну точку (з будь-якої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність).

Доведення. Доведемо необхідність (котру будемо застосовувати нижче). Нехай простір Е компактний і .

Позначимо і - його замикання. утворюють спадну послідовність замкнених множин. Оскільки жодна з них не порожня, то Ø.

Нехай , з іншого боку , тобто , значить - гранична точка - гранична .

У випадку Е=R¹ або Rⁿ теорема звучить наступним чином:

Теорема. Больцано-Вєйерштрасса. Із будь-якої обмеженої послідовності в R¹ (або Rⁿ) можна виділити збіжну підпослідовність.

Це зрозуміло, оскільки обмежена послідовність у R¹ (Rⁿ) належить (паралелепіпед), а це компактна множина.

Практичне заняття №14

Тема: Компактні простори

Основні відомості: 1.Визначення компактного простору.

2. Необхідні та достатні умови компактності топологічного, метричного та нормованого просторів..

Задачі.

1. Нехай Е компактний простір, а F – замкнена множина в Е. Довести, що F – компактний простір.

2. Довести за допомогою задачі 1, що будь-яка замкнена обмежена множина в R² компактна.

3. Довести, що об’єднання кінцевого числа компактів є компактом.

4. Показати, що множина не є компактною в R¹.

5. Довести, що якщо метричний простір Е – компактен, то з будь-якої послідовності Е можна виділити підпослідовність, що сходиться.

Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести компактність в R² множина за допомогою означення.

2. Довести, що перетин будь-якої сукупності компактів є компактом.

3. Нехай і , причому А і В не порожні, де - метричні простори. Довести, що для компактності в з метрикою , необхідно і достатньо, щоб А і В були компактні.

4. Довести, що відрізок можна покрити кінцевим числом інтервалів радіусом не більше ніж , де довільне, наперед задане число.

5. Розглянемо простір з нормою . Показати, що в замкнена обмежена множина не є компактною.

6. Довести, що з будь-якої послідовності точок одиничної окружності в можна виділити підпослідовність, яка сходиться.

7. Довести компактність з допомогою теореми Больцано-Вєйерштрасса.

8. Навести приклад послідовності з якої неможна відокремити підпослідовність, що сходиться, у множині .

9. Нехай послідовність множин в метричному просторі Х таких, що

1. - компактна множина для кожного і.

2. для кожного i >1.

Довести, що Ø.

10. Показати на прикладі, що ствердження задачі 9 не вірне, якщо замінити умову 2 із задачі 9 на: для кожного i>1.

Лекція № 14