Тема: відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа.

Необхідні відомості: Визначення бінарного відношення і відношення порядку.

Визначення верхньої та нижньої граней, точної верхньої та точної нижньої граней.

Визначення дійсних чисел, аксіоми повноти.

Теорема о верхній грані.

 

Задачі

1. Бінарне відношення і відношення порядку

1.1 Нехай Х=[0,1], побудувати бінарне відношення зобразити його на площині.

1.2 Нехай X=N ввести на N відношення порядку на основі подільності чисел і довести, що відношення – відношення порядку. Чи буде N впорядкованою множиною?

2. Точна верхня та точна нижня грані

2.1 , де Е- впорядкована множина, довести

2.2 Нехай , де Е- впорядкована множина для будь-яких , , то .

3. Визначення дійсних чисел. Теорема о верхній грані.

3.1 Перевірити, що Q задовольняє усім аксіомам дійсних чисел окрім аксіоми повноти.

3.2 Довести, що принцип верхньої грані еквівалентний аксіомі повноти.

 

Завдання для самостійної роботи.

1. Нехай x=R¹ побудувати бінарне відношення і зобразити його на площині.

2. Нехай Х – множина усіляких множин. Показати, що відношення включення – відношення порядку. Чи буде Х впорядкованим?

3. Нехай Х=R². Розглянемо відношення на R² таке, що (х, у) (х₁, у₁), якщо . Чи буде це відношення відношенням порядку?

4. Нехай Х=R³. Розглянемо відношення на R³ таке, що (х, у, z) (х₁, у_1, z₁), якщо , , . Чи буде це відношення відношенням порядку, а множина Х - впорядкованою?

5. Ввести відношення порядку подібно до задачі 4 на Rⁿ.

6. , де Е- впорядкована множина, довести .

7. Нехай і для будь-яких , , . Якщо , то .

8. Нехай х, у – множини із задачі 7, то або існує max x, або існує min y.

9. Показати на прикладі, що аксіома повноти не виконується на множині Z.

10.Який вид має мати множина А – підмножина R¹, щоб на ньому виконувалася аксіома повноти.

11. Нехай на R³ введено відношення порядку із задачі 4. Якщо А, В і будь-який елемент із А знаходиться в відношенні з будь-яким елементом із В, то існує елемент (x₀, y₀, z₀) такий, що

для і .

Практичне заняття № 4

Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані.

Основні відомості:

1. Аксіома неперервності.

2. Визначення верхньої та нижньої грані множини.

3. Визначення sup та inf множини.

4. Теорема про існування sup та inf обмеженої множини.

5. Принцип Архімеда.

 

Задачі:

1. Обмеженість. Верхні, нижні грані. Мінімальні, максимальні елементи.

1.1. Довести, що множина обмежена, тоді і тільки тоді, коли існує таке , що для

всіх виконується нерівність .

1.2. Довести обмеженість множини X= .

1.3. Знайти точні верхні та нижні грані множин , .

Найбільші та найменші елементи цих множин, якщо такі елементи існують.

2. Точні грані.

2.1 Нехай та – X - множина чисел, протилежних числам .Довести, що

.

2.2 Нехай та X+Y= . Довести

2.3 Нехай та .Довести, що

2.4 Довести, що множина всіх правильних раціональних дробів

, не має найбільшого елемента. Знайти його точну верхню грань.

 

Завдання для самостійної роботи.

Довести обмеженість множини:

1.

2.

3.

4. Довести, що множина необмежена зверху.

5. Довести, що множина необмежена знизу.

6. Довести, що множина необмежена зверху і знизу.

Знайти точні верхні і нижні грані множин, найбільші і найменші елементи, якщо такі існують:

7.

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. Нехай і .Довести, що .

14. Нехай і . Довести, що .

15. Нехай і XY= .Довести, що .

16. Нехай і .Довести, що .

17. Нехай і .Довести, що .

18. Нехай і .Довести, що .

19. В умовах задачі 18 довести, що: .

20. і обмежені. Довести, що обмежено і .

21. В умовах задачі 20 довести, що: .

22. і обмежені. Довести, що обмежено і .

 

Практичне заняття №5

Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності.

Основні відомості:

1. Визначення множини дійсних чисел.

2. Формули скороченого множення.

3.

4.

5.

6. 7. 8.

 

Задачі:

1.Розв'зати завдання:

1.1.Представити у вигляді суми трьох радикалів:

1.2.Обчислити:

1.3.Довести , якщо і

2 В наступних задачах знайти суму:

2.1.

2.2. 2.3.

3. Довести нерівності:

3.1.

3.2.

Вказівка: взяти

3.3

 

Завдання для самостійної роботи.

1. Довести:

2. Спростити:

3.

4. Спростити:

5. Довести:

6. Довести a³+b³+c³=3abc, якщо a+b+c=0.

7. Довести, що якщо задовольняють співвідношенню , то серед a, b, c знайдуться два числа, сума яких дорівнює 0.

8. Показати, що при непарному з рівності виходить, що

9. Знайти суму де - арифметична прогресія.

10.Знайти суму де - арифметична прогресія.

11.Знайти суму:

12.Знайти суму:

13.Чому дорівнює при =73?

14.Знайти доданок:

Довести нерівності:

15. 16.

17.

18. , якщо

19. ,

20. ,

21. , де - сторони, а - площа трикутника.

22.

23.

24. . Довести 14<a₁₀₀<15.

25. Нехай довести, що

Вказівка: показати, що приймає невід'ємні значення при всіх .

Практичне заняття №6