Частина 1. Вступ до аналізу.

Лекційно-практичний курс

З математичного аналізу.

Частина 1. Вступ до аналізу.

Зміст

Зміст. 2

Передмова. 4

Елементи теорії множин. 5

Лекція №1 Відношення. Функції. 5

Практичне заняття № 1 Тема: Множини. Дії над множинами ………………………… 7

Лекція №2 Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя. 8

Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями. 10

Лекція №3 Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда. 11

Практичне заняття №3 Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа. 13

Практичне заняття № 4 Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані. 14

Практичне заняття №5 Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності. 16

Практичне заняття №6 Тема: Принцип математичної індукції. 18

Лекція №4. Кардинальні числа. 20

Лекція №5. Множини потужності континуум, та їх властивості. ………………… ……….23

Практичне заняття № 7 Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум. 25

Елементи топології. 26

Лекція №6 Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини. 26

Лекція №7 Неперервні функції. Гомеоморфізми. 29

Лекція №8. Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології. 31

Практичне заняття № 8 Тема: Елементи топології 33

Послідовності. 35

Лекція №9. Границя послідовності та її властивості 35

Лекція №10. Послідовності в R¹ та в Rⁿ 37

Практичне заняття №9. Тема: Границя послідовності. 40

Практичне заняття №10. Тема: Обчислення границі послідовності. Число е. 42

Лекція №11. Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі. 44

Лекція №12. Властивості границь. Неперервність. Розриви функцій і ................... 47

Практичне заняття №11. Тема: Границя функції 50

Практичне заняття №12. Тема: 1а, 2а чудові границі. 52

Практичне заняття №13. Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація. 54

Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. 56

Лекція № 13. Компактні простори. Компактні множини в R¹ і Rⁿ 56

Практичне заняття №14. Тема: Компактні простори. 59

Лекція № 14. Властивості неперервних функцій на компактних просторах. 60

Лекція № 15. Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в R¹. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції. 62

Практичне заняття № 15. Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність. 64

Лекція № 16. Означення та неперервність елементарних функцій. 66

Лекція № 17. Повні простори. Зв'язок повноти і компактності. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 69

Практичне заняття № 16. Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 71

Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди. 72

Практичне заняття № 17. Тема: Числові ряди, їх збіжність. 75

Література. 78

Передмова

 

Пропонований посібник призначений для студентів фізико-математичного факультету спеціальності «Математика», а також може використовуватися студентами суміжних спеціальностей, у яких читається курс математичного аналізу.

Виклад матеріалу оснований на підході, який використовує елементи топології та функціонального аналізу. Це дозволяє викладати матеріал за принципом: від загального до окремого. Крім того, такий підхід набагато спрощує доведення ряду властивостей, також більш яскраво демонструє причинно-наслідкові зв’язки матеріалу, який викладається.

Відзначимо, що для ряду властивостей не наводяться доведення, це стосується тих стверджень, які не важко знайти у загальнодоступній літературі (а також довести самостійно).

Протягом всього посібника розташовуються практичні заняття, які, з одного боку, носять тренувальний характер, а з іншого доповнюють викладений теоретичний матеріал.

Крім того, відзначимо, що поділ матеріалу на лекції носить умовний характер і зроблений у відповідності з курсом лекцій прочитаних у студентів фізико-математичного факультету.

Більш того, студент в кінці знайде список основної літератури по теорії і практиці в сполученні з якими, ми сподіваємося, даний посібник допоможе освоїти предмет більш глибше.

Елементи теорії множин.

Лекція №1

Відношення. Функції.

Властивості.

1).

2).

Доведення 1.

1. Нехай і або В (наприклад)
, тоді і звідси маємо, що . Таким чином .

 

Нехай або , . Таким чином

Доведення 2. (аналогічне доведенню 1)

Означення. Добутком двох множин Е і F називається множина всіх можливих впорядкованих пар (х, у), де .

При цьому пари (х, у) і (у, х) з вважаються різними. Аналогічно визначаються і т.д. Крім того позначимо = .

 

Образ, прообраз. Композиція

Нехай

Означення. Образом множини при відображенні називається множина

.

Множину називають прообразом множини .

Властивості:

1.

2.

3.

4.

5. ,

,

,

Доведення провести самостійно.

 

Нижче будемо використовувати наступну термінологію:

1. f – сюр’єктивне відображення, якщо f(X)=Y

2. f – ін’єктивне відображення, якщо , f(х₁)=f(x₂) x₁=x₂.

3. f – бієктивне (взаємно-однозначне) відображення, якщо воно сюр’єктивне і ін’єктивне одночасно.

Якщо відображення бієктивне, то природно виникає відображення , таке що: якщо .

Відображення - обернене для .

Нехай і , причому g визначене на f(Х), тоді можна визначити нове відображення формулою

,

- композиція f і g (g - зовнішнє, а f - внутрішнє відображення).

 

Практичне заняття № 1

Задачі

1. Дії над множинами.

1.1. Нехай А, В М. Довести еквівалентність включень А С_МВ ↔ В С_МА.

1.2 Довести, що А \ В= А СВ

1.3 Довести (В \ С) \ (В \ А) А \ С

2. Прямий добуток множин.

2.1 Знайти декартовий добуток множин і описати геометричний образ:

а) двох відрізків;

б) прямої та окружності;

в) побудувати R², Rⁿ.

2.2. Довести

(X Y) (Z Y)=(X Z) Y

2.3 Довести, що якщо А Р, В Q то А В=(А Q) (B P).

3. Відношення.

3.1 Навести приклад відношення, що складається з кінцевого числа елементів.

3.2 Побудувати відношення, яке належить [a,b] [c,d] кінцеве і нескінченне.

Довести

1. А (В С)=(А В) (А С).
2. C (А В)=СА СВ
3. С(А В)=СА СВ
4. А \ (В \ C)=(A \ В) (А \ С)
5. (А В) \ С= (А \ С) (В \ С)
6. А \ В = А СВ
7. (А С) (В D) (А В) (С D)
8. А\ С (A \ В) (В \ С)
9. Чи випливає з А \ В=С, що А=В С
10. Знайти геометричний образ прямого добутку прямої і кола.
11. Знайти геометричний образ прямого добутку прямокутника і відрізка.
12. Знайти геометричний образ прямого добутку

а) прямої і відрізка;

б) відрізка й інтервалу;

в) двох інтервалів;

г) двох прямих.

Довести

1. (A B) (C D)=(A C) (B D)
2. (A B) (C D)=(A C) (B D)
3. (A \ B) C=(A C) \ (B C)
4. Нехай X=[a,b], Y=[c,d]. Побудувати відношення R X Y.
5. Побудувати відносини R=X Y, де X і Y із задачі 17.
6. X={a, b, c} Y={0,1, (1,1)} побудувати відношення X Y і =X Y.

20. X=[0,1] [0,1] Y=[0,1] побудувати відношення X Y, яке містить 3 елемента і =X Y

 

Лекція №2.

Зростаючі функції.

Нехай Е і F - дві впорядковані множини.

Означення. Відображення називається зростаючим, якщо із , і відображення називається спадним, якщо .

Якщо маємо строгі нерівності, то функція строго зростаюча (спадна).

Будемо використовувати ще й наступні терміни: якщо Е впорядкована множина, то [a, b] – замкнений інтервал х: ; (a, b) – відкритий інтервал, a < x < b та ін.

Означення.

I. с = sup A, , якщо:

1.

2.

II. с = inf A, , якщо:

1.

2.

Теорема. (про верхню (нижню) границю). Нехай непуста множина, обмежена зверху (знизу), тоді існує точна верхня (нижня) границя множини А, причому єдина.

Доведення. , В існує оскільки А обмежена. Множини А і В задовольняють аксіому неперервності. Тоді , що , с – мінімальна верхня границя, тобто с = sup A, причому с – єдине, згідно з раніше доведеним твердженням.

Крім множини дійсних чисел R¹ ми будемо розглядати простір = , а також відображення означенні на цих просторах. Нижче домовимося говорити якщо:

1. - функція називається послідовністю, та застосовується позначення .

2. , то маємо дійсну функцію від дійсної змінної.

3. - то маємо дійсну функцію від n змінних.

Приклад. К- кінетична енергія системи n матеріальних частинок залежить від їх швидкостей. Е=К+V – повна енергія – залежить як від конфігурації системи nq, так і від набору швидкостей.

Впорядковані пари (q, ), що відповідають системі, утворюють підмножину Ф в , що називається фазовою підмножиною системи частинок. (якщо система замкнена, то Е – const, закон збереження енергії).

Практичне заняття № 2

Лекція №3.

Класи чисел

Означення. Множина називається індуктивною, якщо

Приклад.

Означення. Множиною натуральних чисел N називається найменша індуктивна множина, що містить 1(1,2,3,...).

Принцип математичної індукції. Якщо підмножина Е N така, що 1 Е і разом з х Е число х +1 Е, то E=N.

Означення. Об'єднання множини N, множини чисел, протилежних N і {0} називається множиною цілих чисел Z.

Означення. Числа виду , m Z, n N називаються раціональними числами, а множину цих чисел називають множиною раціональних чисел Q.

Означення. Дійсні числа, які не є раціональними називаються ірраціональними. Загалом отримали: N Z Q R

Алгебраїчне число - корінь рівняння а_охⁿ + a₁x^n-1 +... + а_n =0 a_i Q в протилежному випадку число трансцендентне.

( - трансцендентне число (1882 p.); - трансцендентне, - алгебраїчне, - ірраціональне (проблема Гілберта)).

Покажемо, що Ø

Доведемо, що існує, і - число ірраціональне.

Розглянемо дві множини X, Y такі, що , , 1 Х, 2 Y- множини X і Y - не порожні.

І. Покажемо, що s² = 2.

1) Припустимо, що s² < 2. Розглянемо s+ . Відомо, що , розглянемо

де

, .

Отже , прийшли до суперечності, припущення s²<2 – невірне.

2) Припустимо s² >2, тоді <s. Міркуючи аналогічно як і в попередньому прийдемо до суперечності, тобто припущення s² > 2 знову невірне.

Залишається єдине – s² =2.

II. Доведемо, що s - ірраціональне. Припустимо, що s - раціональне. Тоді за означенням нескоротний дріб.

- парне число, значить m - парне: m = 2к; ; ; 2k²=n²; отже n-парне, n=2p - скоротний дріб, отже припущення невірне, тобто s - ірраціональне.

Принцип Архімеда. Наслідки.

Теорема 1. У будь-якій не порожній підмножині множини N існує максимальний елемент.

Доведення. Нехай A N, c = sup A (існує за теоремою про верхню границю). Тоді . Маємо: n =max A, оскільки усі натуральні числа, які більші n, не менші n+1, тобто n+1> c і не містяться у множині А.

Наслідок. Множина N необмежена зверху.

 

Теорема 2. У будь-якій не порожній обмеженій зверху підмножині множини Z існує максимальний елемент,

Доведення. Аналогічно доведенню теореми 1.

Наслідок. Множина Z необмежена зверху.

Самостійно сформулювати та довести властивості аналогічні теоремам 1,2 для мінімального елемента.

 

Принцип Архімеда. Нехай х - довільне дійсне число, a h- довільне додатне число. Тоді існує єдине ціле число k, для якого .

Доведення. Розглянемо множину - не порожня (оскільки Z - необмежена зверху) обмежена знизу підмножина множини цілих чисел. В ній існує єдиний мінімальний елемент k, тобто , тоді .

Наслідки.

1.

Доведення. За принципом Архімеда при х=1 і h= 1<n .

2. Якщо у - довільне дійсне невід'ємне число, і для будь-якого натурального числа n маємо , то у = 0.

 

Доведення. Якщо y>0, то h=y, x=1 одержуємо, що тобто , що суперечить даній властивості. Маємо невірне припущення, отже у=0.

 

3. Для будь-яких дійсних чисел а і b таких, що a<b існує число r Q таке, що a<r<b.

Доведення. Візьмемо n N, таке що . Тоді існує k таке, що (за принципом Архімеда). При цьому , так як в протилежному випадку і , що суперечить вибору n. Тоді буде шуканим, a<r<b.

Практичне заняття №3

Практичне заняття № 4

Практичне заняття №5

Практичне заняття №6

Лекція №4.

Кардинальні числа.

Приклад.

1. Множини точок двох відрізків - рівнопотужні. Взаємно-однозначно співставити елементи цих множин слід так

 

2. Множини точок півінтервалів - рівнопотужні. Взаємно-однозначно співставлення елементів цих множин відбувається за допомогою функції y=tg x.

Рівнопотужними є множини натуральних чисел і парних натуральних чисел: N~{2n}, n↔2n.

Означення. Клас, якому належить множина X називається потужністю множини X або кардинальним числом множини X(card X).

Множини одного класу мають однакове кардинальне число, а різних класів -різне.

У класі кардинальних чисел існує відношення порядку: якщо - кардинальне число деякої підмножини множини потужності , то .

Іншими словами: cardX cardY .

Подібно відношенню порядку на числовій прямій, введене відношення упорядковує потужності, А саме:

1. card X card Y і card Y card Z card X card Z.

2. card X card Y і card Y card X card X = card Y (Теорема Шредера-Берштейна).

3. x, y (card X < card Y) або (card Y< card X) (теорема Кантoра).

Таким чином, клас кардинальних чисел впорядкований.

Зчисленні множини.

Означення. Множина Х називається зчисленною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел N, тобто card X = card N = а.

Теорема (необхідна і достатня умова зчисленності). Для того, щоб множина А була зчисленною необхідно і достатньо, щоб її елементи можна було представити у вигляді послідовності.

Доведення. Необхідна умова. Нехай card A=a A~N, тобто існує бієкція Для будь-якого а А існує єдине , тобто елемент а розташуємо на n-му місці у послідовності. Таким чином всі елементи множини А розташуються у послідовності.

Достатня умова. Нехай тоді a_n↔n, тобто , бієкція: A→N. Отже A~N, що і доводить теорему.

 

Приклад 1. Z~N, оскільки

 

Розглянемо теореми про властивості зчисленних множин.

Теорема 1. У будь-якій нескінченій множині можна вибрати зчисленну підмножину.

Доведення. Нехай А – нескінченна множина. Візьмемо будь-яке і позначимо а₁. Оскільки А нескінченна, то у множині А\ є елементи. Візьмемо будь-який елемент з А\ та позначимо його а₂. У множині А\ є елементи. Продовжуючи процес отримуємо множину , що й треба довести.

 

Теорема 2. Об’єднання скінченної або зчисленної множин – зчисленне.

Доведення. Нехай , де card A_i=a, i =1,…. Покажемо, що card A=a, тобто А~N. Оскільки А_і~N то для кожного i =1,… множини А_і можливо представити у вигляді послідовності: , i =1, 2, ….

Множину А можливо представити у вигляді

, тоді , де розташування елементів у порядку зросту суми індексів. Згідно теореми A~N, що і треба було довести.

 

Теорема 3. Декартовий добуток скінченого числа зчисленних множин - зчисленний.

Доведення. Нехай А= , де А_і – зчисленні. Доведемо по індукції. Нехай n=2 , де - зчисленна оскільки А₁ – зчисленна. Оскільки А₂ – зчисленна, то - зчисленне об’єднання зчисленних множин – тобто зчисленна множина, згідно з властивістю 2.

Нехай при n=k (А= ), А – зчисленна. Доведемо, що при n=k+1 А= - зчисленна. Отже

А= , множина - зчисленна, згідно припущення, а A_k+1 – зчисленна за умовою. Згідно доведення для n=2 добуток - зчисленна множина, що й треба було довести.

Приклад 2 Множина алгебраїчних чисел - зчисленна.

Нехай А – множина алгебраїчних чисел, тоді , де А_n множина коренів многочленів порядку n з раціональними коефіцієнтами. Позначимо - множина коренів многочленна а₀хⁿ+…+a_n (вона скінченна), тоді .

Множина наборів (а_0, …, a_n), а_{і , і=0,…n} зчисленна згідно властивості 3, тобто об’єднання - зчисленне об’єднання скінченних множин. Згідно з властивістю 2 А_n – зчисленне, тоді теж зчисленне.

Приклад 3. card Q=a. Дійсно - зчисленна.

Теорема 4. Нехай X- нескінчена множина і card А = а, тоді Х А ~ X.

Доведення. Оскільки Х – нескінченна, то існує зчисленна множина М Х, тоді

(card A M=a)

, тобто .

 

Лекція №5.

Потужність континуума.

Теорема. Множина U= не еквівалентна множині натуральних чисел N.

Доведення. Припустимо, що U = [0;1] - зчисленна і її елементи можна представити у вигляді послідовності x_l,x₂,...,x_n,.... Розглянемо , виберемо довільне ціле число від 1 до 8 включно, відмінне від j–го десяткового знака числа х_j. Таким чином, що - десятковий дріб відмінний від х_n,(так як n-й знак відмінний від 0,9 і n-го знака х_n).

Числа 0 і 9 не використовуються, так як у противному випадку можливий різний запис числа (0,10200...=0,101999...). Отже, x_l,x₂,...,х_j,... не містить число , це протиріччя свідчить, що наше припущення невірно, тобто U N

 

Означення. Множини, еквівалентні [0; 1] - множини потужності континуум, нижче це будемо позначати card A=c.

Приклад. Враховуючи приклади та властивості з лекції 4 маємо:

1. card = c;

2. card[0;l] = card[0;l) =... = card R = c;

3. Множина трансцендентних чисел нескінчена і має потужність с.

 

Практичне заняття № 7

Елементи топології.

Лекція №6.

Приклади.

1.

2. - евклідова метрика, або природня метрика (приклад 1 маємо при );

3. Е – довільна множина, (дискретна метрика);

4. Метрика фізичного простору-часу.

Означення. Сферою з центром радіуса R > 0 називається множина

Означення. Відкритою (замкнутою) кулею з центром радіуса R>0 називається множина

Приклади.

1. R: куля – інтервал ( -R, +R).

2. R²: куля – звичайне коло з центром у відповідній точці радіуса R.

Означення. Підмножина А Е метричного простору (Е, ) називається обмеженою, якщо існує куля в якій вона міститься.

Приклад.

Множина R і N R не обмежені у метриці приклада 1. Але якщо метрика дискретна, то обмежені.

2. Нормовані простори.

Нехай Е - векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел.

Означення. Нормою у векторному просторі Е називається будь-яка функція , для якої виконуються умови:

1.

2.

3.

Означення. Якщо у векторному просторі Е задана норма, то Е - нормований векторний простір.

Приклади.

1. 2. .

3. 4.

5. Якщо Е - нормований простір, то в ньому можна визначити відстань Де задовольняє умовам: і . Навпаки, якщо задовольняє зазначеним властивостям, то відстань задається нормою . (Довести самостійно)

В інших випадках у метричному просторі відстань не обов'язково задається нормою. В нормованому просторі куля і сфера з центром в мають вигляд і .

Означення. Відрізком з кінцями і b у векторному просторі називається множина усіх точок виду t +(1-t)b, і позначають .

 

Приклад.

1. Довільний інтервал, якщо .

2. Якщо E=R² - прямокутник без границь.

3. Відкриті кулі у довільному метричному просторі

Властивості відкритих множин:

1. Множини Е і Ø - відкриті.

2. - відкрите, якщо A_і відкриті.

3. - відкрите, якщо А_і відкриті.

Доведемо властивість 2. (Доведення 1, 3 самостійно). Нехай тоді для всіх і=1,…, n. При кожному і Отже - куля з центром радіуса і . Таким чином оскільки довільна точка, - множина відкрита.

4. Аксіома Хаусдорфа. Для будь-яких і b існує дві відкриті непересічні підмножини А, В , що включають і b відповідно.