Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Частина 1. Вступ до аналізу.↑ Стр 1 из 14Следующая ⇒ Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Лекційно-практичний курс З математичного аналізу. Частина 1. Вступ до аналізу. Зміст Зміст. 2 Передмова. 4 Елементи теорії множин. 5 Лекція №1 Відношення. Функції. 5 Практичне заняття № 1 Тема: Множини. Дії над множинами ………………………… 7 Лекція №2 Відношення порядку. Множина дійсних чисел. Точна верхня (нижня) границя. 8 Практичне заняття № 2 Тема: Відношення, функції. Дії над функціями. 10 Лекція №3 Властивості дійсних чисел. Принцип Архімеда. 11 Практичне заняття №3 Тема: Відношення порядку. Впорядковані множини. Точна верхня і точна нижня грані. Дійсні числа. 13 Практичне заняття № 4 Тема: Верхня та нижня грані множини. Точна нижня та верхня грані. 14 Практичне заняття №5 Тема: Дійсні числа. Формули скороченого множення. Основні нерівності. 16 Практичне заняття №6 Тема: Принцип математичної індукції. 18 Лекція №4. Кардинальні числа. 20 Лекція №5. Множини потужності континуум, та їх властивості. ………………… ……….23 Практичне заняття № 7 Тема: Еквівалентні множини. Зчислені множини. Множини потужності континуум. 25 Елементи топології. 26 Лекція №6 Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини. 26 Лекція №7 Неперервні функції. Гомеоморфізми. 29 Лекція №8. Топологічні простори. Еквівалентні метрики і топології. 31 Практичне заняття № 8 Тема: Елементи топології 33 Послідовності. 35 Лекція №9. Границя послідовності та її властивості 35 Лекція №10. Послідовності в R1 та в Rn 37 Практичне заняття №9. Тема: Границя послідовності. 40 Практичне заняття №10. Тема: Обчислення границі послідовності. Число е. 42 Лекція №11. Границя функції. Означення по Коші і Гейне. Чудові границі. 44 Лекція №12. Властивості границь. Неперервність. Розриви функцій і ................... 47 Практичне заняття №11. Тема: Границя функції 50 Практичне заняття №12. Тема: 1а, 2а чудові границі. 52 Практичне заняття №13. Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація. 54 Компактні та зв’язні простори. Властивості неперервних функцій на компактних та зв’язних просторах. 56 Лекція № 13. Компактні простори. Компактні множини в R1 і Rn 56 Практичне заняття №14. Тема: Компактні простори. 59 Лекція № 14. Властивості неперервних функцій на компактних просторах. 60 Лекція № 15. Зв'язні простори. Теорема Больцано-Коші в R1. Існування і неперервність оберненої функції для строго монотонної неперервної функції. 62 Практичне заняття № 15. Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність. 64 Лекція № 16. Означення та неперервність елементарних функцій. 66 Лекція № 17. Повні простори. Зв'язок повноти і компактності. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 69 Практичне заняття № 16. Тема: Повні простори. Ознака Коші. Теорема про нерухому точку. 71 Лекція №18. Початкові відомості про ряди. Числові ряди. 72 Практичне заняття № 17. Тема: Числові ряди, їх збіжність. 75 Література. 78
Пропонований посібник призначений для студентів фізико-математичного факультету спеціальності «Математика», а також може використовуватися студентами суміжних спеціальностей, у яких читається курс математичного аналізу. Виклад матеріалу оснований на підході, який використовує елементи топології та функціонального аналізу. Це дозволяє викладати матеріал за принципом: від загального до окремого. Крім того, такий підхід набагато спрощує доведення ряду властивостей, також більш яскраво демонструє причинно-наслідкові зв’язки матеріалу, який викладається. Відзначимо, що для ряду властивостей не наводяться доведення, це стосується тих стверджень, які не важко знайти у загальнодоступній літературі (а також довести самостійно). Протягом всього посібника розташовуються практичні заняття, які, з одного боку, носять тренувальний характер, а з іншого доповнюють викладений теоретичний матеріал. Крім того, відзначимо, що поділ матеріалу на лекції носить умовний характер і зроблений у відповідності з курсом лекцій прочитаних у студентів фізико-математичного факультету. Більш того, студент в кінці знайде список основної літератури по теорії і практиці в сполученні з якими, ми сподіваємося, даний посібник допоможе освоїти предмет більш глибше. Елементи теорії множин. Лекція №1 Відношення. Функції. Властивості. 1). 2). Доведення 1. 1. Нехай і або В (наприклад)
Нехай або , . Таким чином Доведення 2. (аналогічне доведенню 1) Означення. Добутком двох множин Е і F називається множина всіх можливих впорядкованих пар (х, у), де . При цьому пари (х, у) і (у, х) з вважаються різними. Аналогічно визначаються і т.д. Крім того позначимо = .
Образ, прообраз. Композиція Нехай Означення. Образом множини при відображенні називається множина . Множину називають прообразом множини . Властивості: 1. 2. 3. 4. 5. , , , Доведення провести самостійно.
Нижче будемо використовувати наступну термінологію: 1. f – сюр’єктивне відображення, якщо f(X)=Y 2. f – ін’єктивне відображення, якщо , f(х1)=f(x2) x1=x2. 3. f – бієктивне (взаємно-однозначне) відображення, якщо воно сюр’єктивне і ін’єктивне одночасно. Якщо відображення бієктивне, то природно виникає відображення , таке що: якщо . Відображення - обернене для . Нехай і , причому g визначене на f(Х), тоді можна визначити нове відображення формулою , - композиція f і g (g - зовнішнє, а f - внутрішнє відображення).
Практичне заняття № 1 Задачі
1.1. Нехай А, В М. Довести еквівалентність включень А СМВ ↔ В СМА. 1.2 Довести, що А \ В= А СВ 1.3 Довести (В \ С) \ (В \ А) А \ С 2. Прямий добуток множин. 2.1 Знайти декартовий добуток множин і описати геометричний образ: а) двох відрізків; б) прямої та окружності; в) побудувати R2, Rn. 2.2. Довести (X Y) (Z Y)=(X Z) Y 2.3 Довести, що якщо А Р, В Q то А В=(А Q) (B P). 3. Відношення. 3.1 Навести приклад відношення, що складається з кінцевого числа елементів. 3.2 Побудувати відношення, яке належить [a,b] [c,d] кінцеве і нескінченне. Довести
а) прямої і відрізка; б) відрізка й інтервалу; в) двох інтервалів; г) двох прямих. Довести
20. X=[0,1] [0,1] Y=[0,1] побудувати відношення X Y, яке містить 3 елемента і =X Y
Лекція №2. Зростаючі функції. Нехай Е і F - дві впорядковані множини. Означення. Відображення називається зростаючим, якщо із , і відображення називається спадним, якщо . Якщо маємо строгі нерівності, то функція строго зростаюча (спадна). Будемо використовувати ще й наступні терміни: якщо Е впорядкована множина, то [a, b] – замкнений інтервал х: ; (a, b) – відкритий інтервал, a < x < b та ін. Означення. I. с = sup A, , якщо: 1. 2. II. с = inf A, , якщо: 1. 2. Теорема. (про верхню (нижню) границю). Нехай непуста множина, обмежена зверху (знизу), тоді існує точна верхня (нижня) границя множини А, причому єдина. Доведення. , В існує оскільки А обмежена. Множини А і В задовольняють аксіому неперервності. Тоді , що , с – мінімальна верхня границя, тобто с = sup A, причому с – єдине, згідно з раніше доведеним твердженням. Крім множини дійсних чисел R1 ми будемо розглядати простір = , а також відображення означенні на цих просторах. Нижче домовимося говорити якщо: 1. - функція називається послідовністю, та застосовується позначення . 2. , то маємо дійсну функцію від дійсної змінної. 3. - то маємо дійсну функцію від n змінних. Приклад. К- кінетична енергія системи n матеріальних частинок залежить від їх швидкостей. Е=К+V – повна енергія – залежить як від конфігурації системи nq, так і від набору швидкостей. Впорядковані пари (q, ), що відповідають системі, утворюють підмножину Ф в , що називається фазовою підмножиною системи частинок. (якщо система замкнена, то Е – const, закон збереження енергії). Практичне заняття № 2 Лекція №3. Класи чисел Означення. Множина називається індуктивною, якщо Приклад. Означення. Множиною натуральних чисел N називається найменша індуктивна множина, що містить 1(1,2,3,...). Принцип математичної індукції. Якщо підмножина Е N така, що 1 Е і разом з х Е число х +1 Е, то E=N. Означення. Об'єднання множини N, множини чисел, протилежних N і {0} називається множиною цілих чисел Z. Означення. Числа виду , m Z, n N називаються раціональними числами, а множину цих чисел називають множиною раціональних чисел Q. Означення. Дійсні числа, які не є раціональними називаються ірраціональними. Загалом отримали: N Z Q R Алгебраїчне число - корінь рівняння аохn + a1xn-1 +... + аn =0 ai Q в протилежному випадку число трансцендентне. ( - трансцендентне число (1882 p.); - трансцендентне, - алгебраїчне, - ірраціональне (проблема Гілберта)). Покажемо, що Ø Доведемо, що існує, і - число ірраціональне. Розглянемо дві множини X, Y такі, що , , 1 Х, 2 Y- множини X і Y - не порожні. І. Покажемо, що s2 = 2. 1) Припустимо, що s2 < 2. Розглянемо s+ . Відомо, що , розглянемо де , . Отже , прийшли до суперечності, припущення s2<2 – невірне. 2) Припустимо s2 >2, тоді <s. Міркуючи аналогічно як і в попередньому прийдемо до суперечності, тобто припущення s2 > 2 знову невірне. Залишається єдине – s2 =2. II. Доведемо, що s - ірраціональне. Припустимо, що s - раціональне. Тоді за означенням нескоротний дріб. - парне число, значить m - парне: m = 2к; ; ; 2k2=n2; отже n-парне, n=2p - скоротний дріб, отже припущення невірне, тобто s - ірраціональне. Принцип Архімеда. Наслідки. Теорема 1. У будь-якій не порожній підмножині множини N існує максимальний елемент. Доведення. Нехай A N, c = sup A (існує за теоремою про верхню границю). Тоді . Маємо: n =max A, оскільки усі натуральні числа, які більші n, не менші n+1, тобто n+1> c і не містяться у множині А. Наслідок. Множина N необмежена зверху.
Теорема 2. У будь-якій не порожній обмеженій зверху підмножині множини Z існує максимальний елемент, Доведення. Аналогічно доведенню теореми 1. Наслідок. Множина Z необмежена зверху. Самостійно сформулювати та довести властивості аналогічні теоремам 1,2 для мінімального елемента.
Принцип Архімеда. Нехай х - довільне дійсне число, a h- довільне додатне число. Тоді існує єдине ціле число k, для якого . Доведення. Розглянемо множину - не порожня (оскільки Z - необмежена зверху) обмежена знизу підмножина множини цілих чисел. В ній існує єдиний мінімальний елемент k, тобто , тоді . Наслідки. 1. Доведення. За принципом Архімеда при х=1 і h= 1<n . 2. Якщо у - довільне дійсне невід'ємне число, і для будь-якого натурального числа n маємо , то у = 0.
Доведення. Якщо y>0, то h=y, x=1 одержуємо, що тобто , що суперечить даній властивості. Маємо невірне припущення, отже у=0.
3. Для будь-яких дійсних чисел а і b таких, що a<b існує число r Q таке, що a<r<b. Доведення. Візьмемо n N, таке що . Тоді існує k таке, що (за принципом Архімеда). При цьому , так як в протилежному випадку і , що суперечить вибору n. Тоді буде шуканим, a<r<b. Практичне заняття №3 Практичне заняття № 4 Практичне заняття №5 Практичне заняття №6 Лекція №4. Кардинальні числа. Приклад. 1. Множини точок двох відрізків - рівнопотужні. Взаємно-однозначно співставити елементи цих множин слід так
2. Множини точок півінтервалів - рівнопотужні. Взаємно-однозначно співставлення елементів цих множин відбувається за допомогою функції y=tg x. Рівнопотужними є множини натуральних чисел і парних натуральних чисел: N~{2n}, n↔2n. Означення. Клас, якому належить множина X називається потужністю множини X або кардинальним числом множини X(card X). Множини одного класу мають однакове кардинальне число, а різних класів -різне. У класі кардинальних чисел існує відношення порядку: якщо - кардинальне число деякої підмножини множини потужності , то . Іншими словами: cardX cardY . Подібно відношенню порядку на числовій прямій, введене відношення упорядковує потужності, А саме: 1. card X card Y і card Y card Z card X card Z. 2. card X card Y і card Y card X card X = card Y (Теорема Шредера-Берштейна). 3. x, y (card X < card Y) або (card Y< card X) (теорема Кантoра). Таким чином, клас кардинальних чисел впорядкований. Зчисленні множини. Означення. Множина Х називається зчисленною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел N, тобто card X = card N = а. Теорема (необхідна і достатня умова зчисленності). Для того, щоб множина А була зчисленною необхідно і достатньо, щоб її елементи можна було представити у вигляді послідовності. Доведення. Необхідна умова. Нехай card A=a A~N, тобто існує бієкція Для будь-якого а А існує єдине , тобто елемент а розташуємо на n-му місці у послідовності. Таким чином всі елементи множини А розташуються у послідовності. Достатня умова. Нехай тоді an↔n, тобто , бієкція: A→N. Отже A~N, що і доводить теорему.
Приклад 1. Z~N, оскільки
Розглянемо теореми про властивості зчисленних множин. Теорема 1. У будь-якій нескінченій множині можна вибрати зчисленну підмножину. Доведення. Нехай А – нескінченна множина. Візьмемо будь-яке і позначимо а1. Оскільки А нескінченна, то у множині А\ є елементи. Візьмемо будь-який елемент з А\ та позначимо його а2. У множині А\ є елементи. Продовжуючи процес отримуємо множину , що й треба довести.
Теорема 2. Об’єднання скінченної або зчисленної множин – зчисленне. Доведення. Нехай , де card Ai=a, i =1,…. Покажемо, що card A=a, тобто А~N. Оскільки Аі~N то для кожного i =1,… множини Аі можливо представити у вигляді послідовності: , i =1, 2, …. Множину А можливо представити у вигляді , тоді , де розташування елементів у порядку зросту суми індексів. Згідно теореми A~N, що і треба було довести.
Теорема 3. Декартовий добуток скінченого числа зчисленних множин - зчисленний. Доведення. Нехай А= , де Аі – зчисленні. Доведемо по індукції. Нехай n=2 , де - зчисленна оскільки А1 – зчисленна. Оскільки А2 – зчисленна, то - зчисленне об’єднання зчисленних множин – тобто зчисленна множина, згідно з властивістю 2. Нехай при n=k (А= ), А – зчисленна. Доведемо, що при n=k+1 А= - зчисленна. Отже А= , множина - зчисленна, згідно припущення, а Ak+1 – зчисленна за умовою. Згідно доведення для n=2 добуток - зчисленна множина, що й треба було довести. Приклад 2 Множина алгебраїчних чисел - зчисленна. Нехай А – множина алгебраїчних чисел, тоді , де Аn множина коренів многочленів порядку n з раціональними коефіцієнтами. Позначимо - множина коренів многочленна а0хn+…+an (вона скінченна), тоді . Множина наборів (а0, …, an), аі , і=0,…n зчисленна згідно властивості 3, тобто об’єднання - зчисленне об’єднання скінченних множин. Згідно з властивістю 2 Аn – зчисленне, тоді теж зчисленне. Приклад 3. card Q=a. Дійсно - зчисленна. Теорема 4. Нехай X- нескінчена множина і card А = а, тоді Х А ~ X. Доведення. Оскільки Х – нескінченна, то існує зчисленна множина М Х, тоді (card A M=a) , тобто .
Лекція №5. Потужність континуума. Теорема. Множина U= не еквівалентна множині натуральних чисел N. Доведення. Припустимо, що U = [0;1] - зчисленна і її елементи можна представити у вигляді послідовності xl,x2,...,xn,.... Розглянемо , виберемо довільне ціле число від 1 до 8 включно, відмінне від j–го десяткового знака числа хj. Таким чином, що - десятковий дріб відмінний від хn,(так як n-й знак відмінний від 0,9 і n-го знака хn). Числа 0 і 9 не використовуються, так як у противному випадку можливий різний запис числа (0,10200...=0,101999...). Отже, xl,x2,...,хj,... не містить число , це протиріччя свідчить, що наше припущення невірно, тобто U N
Означення. Множини, еквівалентні [0; 1] - множини потужності континуум, нижче це будемо позначати card A=c. Приклад. Враховуючи приклади та властивості з лекції 4 маємо: 1. card = c; 2. card[0;l] = card[0;l) =... = card R = c; 3. Множина трансцендентних чисел нескінчена і має потужність с.
Практичне заняття № 7 Елементи топології. Лекція №6. Приклади. 1. 2. - евклідова метрика, або природня метрика (приклад 1 маємо при ); 3. Е – довільна множина, (дискретна метрика); 4. Метрика фізичного простору-часу. Означення. Сферою з центром радіуса R > 0 називається множина Означення. Відкритою (замкнутою) кулею з центром радіуса R>0 називається множина Приклади. 1. R: куля – інтервал ( -R, +R). 2. R2: куля – звичайне коло з центром у відповідній точці радіуса R. Означення. Підмножина А Е метричного простору (Е, ) називається обмеженою, якщо існує куля в якій вона міститься. Приклад. Множина R і N R не обмежені у метриці приклада 1. Але якщо метрика дискретна, то обмежені. 2. Нормовані простори. Нехай Е - векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел. Означення. Нормою у векторному просторі Е називається будь-яка функція , для якої виконуються умови: 1. 2. 3. Означення. Якщо у векторному просторі Е задана норма, то Е - нормований векторний простір. Приклади. 1. 2. . 3. 4. 5. Якщо Е - нормований простір, то в ньому можна визначити відстань Де задовольняє умовам: і . Навпаки, якщо задовольняє зазначеним властивостям, то відстань задається нормою . (Довести самостійно) В інших випадках у метричному просторі відстань не обов'язково задається нормою. В нормованому просторі куля і сфера з центром в мають вигляд і . Означення. Відрізком з кінцями і b у векторному просторі називається множина усіх точок виду t +(1-t)b, і позначають .
Приклад. 1. Довільний інтервал, якщо . 2. Якщо E=R2 - прямокутник без границь. 3. Відкриті кулі у довільному метричному просторі Властивості відкритих множин: 1. Множини Е і Ø - відкриті. 2. - відкрите, якщо Aі відкриті. 3. - відкрите, якщо Аі відкриті. Доведемо властивість 2. (Доведення 1, 3 самостійно). Нехай тоді для всіх і=1,…, n. При кожному і Отже - куля з центром радіуса і . Таким чином оскільки довільна точка, - множина відкрита. 4. Аксіома Хаусдорфа. Для будь-яких і b існує дві відкриті непересічні підмножини А, В , що включають і b відповідно. Дійсно, А = А, В - відкриті і не мають спільних точок, в протилежному випадку, якщо , що невірно.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 396; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.96.17 (0.009 с.) |