Задачі для самостійного рішення

1. Установити взаємно – однозначна відповідність між N і множиною чисел, які поділяються на 3 із залишком 2.

2. Установити взаємно – однозначна відповідність між крапками концентричних окружностей.

3. Установити взаємно – однозначна відповідність між сферою з виколотим полюсом і площиною.

4. Побудувати взаємно – однозначна відповідність окружності одиничного радіуса на відрізок [0,1].

5. Установити взаємно – однозначну відповідність між відкритим одиничним колом і замкнутим одиничним колом.

6. Знайти взаємно – однозначну відповідність між замкнутим одиничним колом і доповненням до відкритого одиничного кола.

7. Довести, що множина кіл площини з раціональними радіусами і координатами центра – зліченна.

8. Довести, що множина непересічних трикутників площини – зліченна.

9. Довести, що якщо відстань між будь-якими двома крапками множини Е на прямої більше 1, то множина Е кінцева чи зліченна.

10. Нехай Е зліченна множина на . Чи можна зрушити цю множину на величину а (тобто замінити всі крапки х Е на х + а) так, щоб отримана множина Е_а не перетиналася з Е?

11. Довести, що множина дробова – раціональних функцій , де ,b, Q, a,m,n N – зліченна.

12. Довести, що довільний замкнутий квадрат на площині має потужність континуума.

13. Довести, що множина усіх кінцевих підмножин зліченної множини – зліченна. А множина усіх підмножин зліченної множини має потужність континуума.

14. Яка потужність множини всіх кінцевих послідовностей дійсних чисел.

15. Яка потужність усіх відрізків на числовій прямій?

16. Яка потужність множини всіх кіл на площині?

17. Яка потужність усіх правильних багатокутників на площині?

18. Довести, що множина дробово–раціональних функцій (див. задачу 11) з дійсними коефіцієнтами має потужність континуум.

19. Яка потужність множини всіх послідовностей дійсних чисел.

20. Довести, що множина усіх числових функцій, визначених на [ a,b ] має потужність гіперконтинуума.

Елементи топології.

Лекція №6.

Метричні, нормовані простори. Відкриті, замкнені множини.

Метричні простори. Приклади. Шар. Сфера.

Означення. На множині Е задана метрика : якщо визначена функція

: і виконуються умови:

1. ,

2. ,

3.

Пара називається метричним простором.

Приклади.

1.

2. - евклідова метрика, або природня метрика (приклад 1 маємо при );

3. Е – довільна множина, (дискретна метрика);

4. Метрика фізичного простору-часу.

Означення. Сферою з центром радіуса R > 0 називається множина

Означення. Відкритою (замкнутою) кулею з центром радіуса R>0 називається множина

Приклади.

1. R: куля – інтервал ( -R, +R).

2. R²: куля – звичайне коло з центром у відповідній точці радіуса R.

Означення. Підмножина А Е метричного простору (Е, ) називається обмеженою, якщо існує куля в якій вона міститься.

Приклад.

Множина R і N R не обмежені у метриці приклада 1. Але якщо метрика дискретна, то обмежені.

2. Нормовані простори.

Нехай Е - векторний простір над полем дійсних або комплексних чисел.

Означення. Нормою у векторному просторі Е називається будь-яка функція , для якої виконуються умови:

1.

2.

3.

Означення. Якщо у векторному просторі Е задана норма, то Е - нормований векторний простір.

Приклади.

1. 2. .

3. 4.

5. Якщо Е - нормований простір, то в ньому можна визначити відстань Де задовольняє умовам: і . Навпаки, якщо задовольняє зазначеним властивостям, то відстань задається нормою . (Довести самостійно)

В інших випадках у метричному просторі відстань не обов'язково задається нормою. В нормованому просторі куля і сфера з центром в мають вигляд і .

Означення. Відрізком з кінцями і b у векторному просторі називається множина усіх точок виду t +(1-t)b, і позначають .

 

Відкриті, замкнені множини. Замикання.

Означення. Підмножина А метричного простору називається відкритою, якщо разом з кожною своєю точкою вона містить деяку відкриту кулю з центром у цій точці.

Приклад.

1. Довільний інтервал, якщо .

2. Якщо E=R² - прямокутник без границь.

3. Відкриті кулі у довільному метричному просторі

Властивості відкритих множин:

1. Множини Е і Ø - відкриті.

2. - відкрите, якщо A_і відкриті.

3. - відкрите, якщо А_і відкриті.

Доведемо властивість 2. (Доведення 1, 3 самостійно). Нехай тоді для всіх і=1,…, n. При кожному і Отже - куля з центром радіуса і . Таким чином оскільки довільна точка, - множина відкрита.

4. Аксіома Хаусдорфа. Для будь-яких і b існує дві відкриті непересічні підмножини А, В , що включають і b відповідно.

Дійсно, А = А, В - відкриті і не мають спільних точок, в протилежному випадку, якщо , що невірно.

Означення. Множина В - замкнена в Е, якщо Е \ В = СВ — відкрита.

Приклади.

1. .

2. .

3. Замкнена куля у довільному метричному просторі.

4. Скінчена кількість точок у довільному метричному просторі.