Означення. Неперервні відображення зв'язаних просторів.

Простори можуть становити дещо ціле (куля, Rⁿ), а можуть складатися з декількох частин (об’єднання двох сфер). В зв’язку з цим домовимося про деяку термінологію.

Означення. Топологічний простір називається зв'язаним, якщо його не можна розбити на дві відкриті (замкнуті) підмножини, які не перетинаються, або якщо в Е не існує одночасно відкритої і замкненої множини крім Е та Ø.

Теорема. Для того, щоб підмножина була зв'язним топологічним простором, необхідно і достатньо, щоб вона була відкритим, напіввідкритим, або замкненим інтервалом (можливо і нескінченним).

Доведення.

Необхідність. Нехай Е - зв'язна підмножина R¹, а . Покажемо, що . Якщо це не так, тo і . Тоді відкриті множини та перетинаються з Е, ділять Е на дві відкриті множини, які не перетинаються. Отже, множина Е - не зв'язна. Якщо , то Е співпадає з (де можливо і нескінченні).

Достатність випливає з означення.

Наслідок. Множина Q - не зв'язна.

Теорема. Образ зв'язного топологічного простору при неперервному відображені є зв'язним.

Доведення. Нехай , . Покажемо зв'язність F.

Якщо б було незв'язним, то - відкриті. Ø. і Ø Ø, Ø – відкриті,

Ø - незв'язаний простір, що й доводить теорему.

Наслідок. Якщо неперервна функція визначена на зв'язному просторі Е, із значеннями в R¹, то множина її значень є відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом в R¹.

Таким чином виконуються теореми:

Теорема (Больцано-Коші) 1. Нехай функція і неперервна на та , то , що .

Теорема (Больцано-Коші) 2. Нехай функція і неперервна на та , тоді між А і В , що .

Властивість проміжних значень ( необхідна умова неперервності функції на відрізку ).

Неперервна на відрізку функція своїми значеннями заповнює деякий відрізок.

Приклад того, що ця умова не є достатньою: функція має розрив у 2-го роду, але значеннями заповнює відрізок .

 

Теорема про обернену функцію

Властивість проміжних значень для монотонних функцій є достатньою умовою для неперервності.

Теорема. Нехай деяка неперервна строго зростаюча (спадаюча) функція на відрізку . Тоді образ , а є гомеоморфізмом на . Причому обернена функція строго зростаюча (спадаюча).

Доведення. Рівність випливає з властивостей неперервних функцій, тобто - сюр’єктивно. Оскільки строго зростаюча, то з рівності , тобто - ін’єктивна. Отже - бієкція і згідно з наслідком до першої теореми лекції № 14 - гомоморфізм.

Покажемо, що - строго зростаюча.

Нехай , де , тоді , якщо припустити, що то згідно з умовою теореми , отже , тобто функція строго зростаюча.

Покажемо, що необхідна умова неперервності функції на відрізку, для строго монотонної функції, буде і достатньою умовою.

Теорема. Нехай та строго монотонна, тоді неперервна на ( - можуть бути і нескінченними).

Доведення. Припустимо, що строго зростаюча. Оскільки монотонна функція має розриви лише 1-го роду (див. попередні лекції), то якщо точка розриву зліва, маємо (для при , отже , але оскільки в розрив зліва, то ).

Тоді відрізок не заповнюється повністю значеннями функції , що протирічить тому, що . Таким чином неперервна в зліва, аналогічно і з права. Отже неперервна у кожній точці відрізка .

Приклади.

1. Функція неперервна згідно з останньою теоремою, оскільки строго зростаюча.

2. Функція - обернена до функції . Оскільки - строго зростаюча і неперервна (згідно властивостям неперервних функцій), то згідно теоремі про обернену функцію неперервна.

3. Функція, обернена до функції з приклада 1 неперервна, згідно прикладу 1 і теоремі про обернену функцію.

Практичне заняття № 15

Тема: Зв’язні множини. Властивості функцій неперервних на відрізку. Рівномірна неперервність.

Основні відомості. Зв’язні множини.Теореми Вейерштрасса, Больцано-Коші, Кантора, теорема про неперервність оберненої функції та їх наслідки.

Задачі.

Зв’язні множини.

1.1. Довести, за означенням, що множина не буде зв’язною.

1.2. Довести, що множина зв’язна.

1.3. Довести, що об’єднання двох зв’язних множин Е₁, Е₂ є множина зв’язна, якщо Ø

Властивості неперервних функцій.

2.1. Довести, що якщо функція неперервна в та існує скінчений то ця функція обмежена на даному проміжку.

2.2. Нехай функція визначена та монотонна на проміжку і множина її значень - проміжок. Довести, що ця функція неперервна.

2.3.Функції та g визначені і неперервні на та і . Довести, що існує така, що .

2.4 Функція неперервна та обмежена на , та не має границі при . Довести, що знайдеться число , для якого рівняння має нескінченно багато розв'язків.

2.5. 3найти всі неперервні на R функції , задовольняючі для будь-яких рівності .

Рівномірна неперервність.

3.1.Довести рівномірну неперервність функції на .

3.2. Довести, що сума скінченої кількості рівномірно неперервних на інтервалі функцій - рівномірно неперервна.

3.3. Довести, що якщо обмежена монотонна функція неперервна на , то ця функ­ція рівномірно неперервна на .

Завдання для самостійної роботи.

1. Функція неперервна на , та існують скінчені та Довести, що обмежена на .

2. Довести, що якщо функція визначена та неперервна на проміжку, то множина її значень проміжок (тобто відрізок, або інтервал, або напівінтервал).

Вказівка: застосуйте теорему про проміжне значення.

3. Нехай функція, визначена на відрізку неперервна та зворотня. Довести, що ця

функція строго монотонна на .

Вказівка: показати, що максимум та мінімум функція має на кінцях відрізку (із зворотності).

4. Довести, що рівняння має хоча б один корінь на (1;2).

5. Довести, що будь-який многочлен непарного ступеню має хоча б один дійсний корінь.

6. Довести, що якщо многочлен парного ступеню приймає хоча б одно значення, проти­лежне по знаку коефіцієнту старшого члену, то він має не менш як два дійсні корні.

7. Довести, що якщо функція неперервна на та - будь-які значення з , то між ними знайдеться число , таке, що

Вказівка: використати теорему про проміжне значення.

8. Нехай функція неперервна на та множина її значень належить . Довести, що існує таке, що .

9. Неперервні функції та g відображають відрізок на самого себе. Довести, що існує таке, що .

Вказівка: розглянути функцію .

10. Функція неперервна на R, та ( ()) для будь-якого . Довести, що існує точка с, в якій (c) = с.

Вказівка: показати що ствердження ()> або () < для всіх хибні.

11. Функція монотонна, неперервна на [0;l] та 0 () 1 для будь-якого .

Довести, що для будь-якого , послідовність збігається до одного з розв'язків рівняння .

12. Знайти всі неперервні на R функції, задовольняючі для будь-яких рівності .

13. Знайти всі неперервні на функції, задовольняючі для будь-яких рівності .

14. Знайти всі неперервні на функції, задовольняючі для будь-яких рівності .

15. Довести, що якщо на проміжку X задовольняє умові Ліпшица:

, то вона неперервна на X.

Довести рівномірну неперервність функцій:

16.

Вказівка: використати задачу 3.3.

17. () = sin ² = (-3;3]

18. Довести, що у = sin ² не є рівномірно неперервна функція на R.

19 Довести, що у = ² не є рівномірно неперервною.

20.Довести, що якщо функція рівномірно неперервна на проміжку, то вона неперервна на
цьому проміжку.

21. Довести, що якщо функція задовольняє умові Ліпшица на Х, то вона на X рівномірно
неперервна.

22. Довести, що якщо функція необмежена на обмеженому інтервалі, то вона не є рівномір­но неперервною на цьому інтервалі.

23. Довести, що якщо функція () рівномірно неперервна на обмеженій множині, то вона
обмежена на цій множині.

24. Довести, що якщо та g обмежені та рівномірно неперервні на , то g рівномір­но неперервна на .

25. Довести, що обмежена, монотонна, неперервна на інтервалі функція рівномірно
неперервна на цьому інтервалі.

26. Навести приклад двох зв’язних множин, перетин яких не є зв’язна множина.

27. Довести, що множина з зв’язна тоді і тільки тоді, коли будь-які дві точки з цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, що цілком належить множині.

28. Довести, що якщо Е – зв’язна, то - зв’язна.

29. Довести, що відрізок, який з’єднує дві точки площини тривимірного евклідового простору – зв’язна множина.

30. Довести, що множина точок площини, у яких хоча б одна координата раціональна, зв’язна.

Лекція № 16