Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Матриці. Означення. Види матрицьСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Означення 1. Матрицею розміру називається прямокутна таблиця, складена із чисел вигляду , розміщених в рядках і стовпцях, яка позначається Скорочено пишуть . Зустрічаються також позначення числа називаються елементами матриці. Означення 2. Дві матриці А і В однакових розмірів називаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні елементи, . Позначається Розглянемо основні види матриць. Нульовою називається матриця розміру , всі елементи якої дорівнюють нулю. Квадратною називається матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців . У цьому випадку говорять, що матриця має порядок (замість розміру ). Діагональною називається така квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі відмінні від нуля, а всі решта елементів дорівнюють нулю, позначається Діагональна матриця, в якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею, і позначається Матриця що складається з одного стовпця називається матрицею-стовпцем . Аналогічно, матриця-рядок складається з одного рядка Звернемо увагу, що ряд факторів пов’язаних з поняттям матриці для багатьох так чи інакше могли бути відомими ще до знайомства з самим терміном. Розглянемо приклади. Приклад 1. Відомість на отримання стипендії для 20 студентів є прикладом матриці розміром 20х1, елементами якої є розмір стипендії кожному. Приклад 2. У відомості на зарплату бригаді для 15 робітників можуть бути вказані суми: нарахована, утримана і до оплати. Дані цієї відомості теж представляють матрицю розміру 15х3. Приклад 3. При виконанні робіт в шахті (метро, тунелі) по проходці можна виділити два основних види робіт: виїмка породи (сюди входить буріння шпурів, заряжання, зривання, прибирання породи) і кріплення. Обидва види робіт при сталій площі поперечного перетину можуть вимірюватись в погонних метрах. Припустимо, що протягом доби кожна із трьох змін добилися таких результатів:
Ці результати можна записати у вигляді матриці розміром 3х2:
Лінійні дії над матрицями
Іноді в роботі з таблицями (матрицями) прикладів типу 1–3 із 1.8., доводиться виконувати над ними певні операції. Так, якщо в прикладі 1 потрібно підрахувати заплановий розмір стипендій за семестр (6 місяців), то очевидно необхідно кожний елемент цієї матриці помножити на 6. Виникає необхідність множити матрицю на число. Якщо в умовах прикладу 2 ми маємо відомості 3-х місяців одного квартала, то можна скласти зведену відомість за квартал, додаючи розміщені у відповідних графах дані стосовно кожного робітника. Приходимо до дії додавання матриць. Якщо в умовах прикладу 3, 1.8. позначити через і – результати роботи 3-х змін за першу і другу добу відповідно, то можна знайти сумарні результати за дві доби додаванням відповідних елементів і позначити це Отже з прикладів бачимо, що цілком природно виникає необхідність дій множення матриці на число і додавання матриць. Означення 1. Добутком числа на матрицю розміру називається нова матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці помноженному на число , тобто Матриця (–1) – протилежна матриці , і позначається . Дія додавання вводиться тільки для матриць одного і того ж розміру. Означення 2. Сумою двох матриць і розміру називається матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць–доданків, тобто , і позначається . Якщо ж , то — різниця матриць. Дії додавання, віднімання і множення матриць на число називаються лінійними діями над матрицями. Можна перевірити, що вони мають такі властивості: Тут позначено через 0 – нульову матрицю і — протилежну матриці . Вправа. Перевірити властивості 1–8 для матриць і чисел . Приклад. Задані матриці , . Знайти 1) ; 2) . Розв’язання. 1) .
2) . Множення матриць
Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці
записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок
де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: – відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення. Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену -ю зміною . Аналогічно підраховуються капітальні затрати для -ої зміни по виїмці і кріпленню.
Отримаємо таблицю затрат
Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матриць і за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають Для множення матриці розміру на матрицю розміру необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця узгоджується з матрицею (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця не є узгодженою з матрицею . Означення 1. Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається матриця розміру , елементи якої дорівнюють сумі добутків елементів -того рядка матриці на відповідні елементи -того стовпця матриці , тобто . Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матриць і : кожному елементу в -тому рядку матриці (першого співмножника) повинен відповідати елемент в -тому стовпці матриці (другого співмножника). Число рядків матриці дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника. Приклад 1. Знайти добуток матриць і , якщо , . Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці - 2х3. Число стовпців матриці дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю на матрицю . В результаті отримаємо матрицю розміром 2х3, тобто . Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць Звернути увагу, що в даному випадку . Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, . Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо . Приклад 4.
Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому . Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо Можна показати, що множення матриць має такі властивості: де – число; . Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують. Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матриці такі: , , С= . Розглянемо поняття степеня квадратної матриці. Означення 3. Квадратом матриці (позначається ) називається добуток , тобто . Аналогічно вводиться . Приклад 7. Для матриць і , де , , довести, що , та знайти значення виразів. Означення 4. Якщо - заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз де - одинична матриця, називається многочленною матрицею. Приклад 8. Для матриці Знайти Обчислити степені квадратних матриць: 9. . 10 . 11. . 12. . 13. . 14. . Перемножити прямокутні матриці: 15. . 16. . 17. . Знайти , якщо задана матриця і функція Відповіді. 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. .
Визначник добутку матриць
Визначник квадратної матриці позначають (скорочення від латинської назви детермінант), або | |. Наприклад, якщо то . Теорема. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добуткові їх визначників, тобто , або . (1) Рівність перевіримо для матриць другого порядку.
Приклад. Перевірити рівність (1) для таких матриць Розв’язання. Обчислимо спочатку визначники заданих матриць та добуток їх
; , .
Знайдемо тепер добуток матриць і і теж обчислимо їх визначник
. .
Отже, .
Приклади. Знайти визначники матриць: 1. . 2 . 3. . 4. . 5. . 6. . Для поданих матриць знайти їх добуток та обчислити визначники. Результат перевірити за допомогою теореми. Відповіді. 1. -1. 2. 343. 3. . 4. 1. 5. . 6. . 7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.
Обернена матриця. Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай . Означення 1. Матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто . Якщо ж , то матриця називається особливою (виродженою). Означення 2. Квадратна матриця називається оберненою до матри ці , якщо виконується рівність (1) тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці . Теорема. Якщо матриця - неособлива (), то ця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці . Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену , тобто . За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо , бо . (2) Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли і . Достатність. Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто . Скорочено позначимо . Покажемо, як знайти обернену матрицю. Для кожного з елементів матриці знайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення : , розмістивши їх у вигляді нової матриці відповідно розташуванню елементів в . Отримаємо (3) (див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємо формулу оберненої матриці . (4) За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що . Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці . Розв’язання здійснимо у такій послідовності 1) Обчислимо визначник матриці . Оскільки , то існує обернена матриця. 2)Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці ; ; ; ; ; ; ; . 3) Записуємо нову матрицю за формулою (3) . 4) За формулою (4) отримуємо обернену матрицю . 5) перевіримо, що , Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці . Розв’язання. 1) . 2) ; ; ; . 3) . 4) . 5) .
|
||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-14; просмотров: 1827; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.164.100 (0.014 с.) |