Линейные операции над матрицами

 

1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового раз­мера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

 

 

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

 

Умножение матрицы на действительное число. Произ­ведением матрицы А на действительное число α называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соот­ветствующего элемента матрицы А на число α.

Пример 2. Пусть даны матрица А и число α:

 

 

Тогда произведением матрицы А на число является матрица

 

Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β — некоторые действи­тельные числа. Тогда:

1) А + В = В + А,

2) (А + В) + С = А + (В + С),

3) α(А + В) =αА + αВ,

4) (α + β) A = αA + βA,

5) (αβ)А = (αA)β,

6) A + О = А, где О — нулевая матрица,

7) 0А = О.

 

55. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.

Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В разме­ром п х k. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк _i размерности п каждый, а матрицу В — как совокупность k векторов-столбцов _j, каждый из которых содержит по п координат:

 

 

Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (13.3). Длина строки матри­цы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

 

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой c_ij равны скалярным произве­дениям векторов-строк _i матрицы А на векторы-столбцы _j матрицы В:

 

 

В операции умножения матриц есть характерная особен­ность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формиру­ющих элементы соответствующей матрицы, должны участво­вать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то име­ет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у ис­ходных сомножителей. При этом в общем случае перемноже­ния матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е. АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

 

 

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

 

 

56. Вырожденные и невырожденные матрицы.

 

. Матрица порядка п называется вырожден­ной, если ее ранг r < п.

 

57. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.

Определение 1. Матрица порядка п называется вырожден­ной, если ее ранг r < п.

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной по отно­шению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

 

 

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.

 

58. Запись системы линейных уравнений в матричной форме и ее решение с помощью обратной матрицы.

Система т линейных уравнений с п неизвестными (пере­менными) x ₁, x ₂,..., x_п имеет вид

 

 

Здесь a_ij и b_i — произвольные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), которые называются соответственно коэффици­ентами при неизвестных и свободными членами уравнений (15.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных озна­чает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру не­известного x_i.

Решением системы уравнений (15.1) называется набор п чисел x ₁ = α₁, x ₂ = α₂, …, x_n = α _n, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравне­ний (15.1) в матрицу

 

 

Эта матрица состоит из m строк и п столбцов и называет­ся матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных чле­нов В:

 

Х и В представляют собой векторы-столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее тракто­вать их именно как матрицы, состоящие соответственно из п и m строк и одного столбца.

Тогда систему линейных уравнений (15.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен т х n, а размер Х — n х 1 и, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

 

 

 

61. Миноры и алгебраические дополнения. Ранг матрицы.

Рассмотрим определитель n -го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент а_ij и вычеркнем i- ю строку и j- й стол­бец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полу­ченный определитель (n - 1)-го порядка называется минором M_ij элемента a_ij определителя Δ _n.

Пример 1. Найти минор М ₃₂ определителя четвертого по­рядка

 

 

Решение. Минор М ₃₂ элемента a ₃₂ получается вычеркива­нием из данного определителя 3-й строки и 2-го столбца. По­лученный определитель 3-го порядка равен

 

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя (14.3) называется число

 

 

Так, для приведенного выше примера алгебраическое до­полнение равно

 

 

1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:

 

 

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го поряд­ка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k -го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел т и п, т.е.

 

 

Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь среди этих мино­ров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка.

Определение 1. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы

 

62. Определитель (детерминант) матрицы. Основная теорема об определителях. Свойства определителей.

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соот­ветствие по определенному закону некоторое число, называе­мое определителем, или детерминантом, n -го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего поряд­ков.

Пусть дана матрица

 

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по фор­муле

 

 

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

 

 

Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей.

1. Если некоторая строка или столбец определителя состо­ит из нулей, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно общему определению, в каждое из n! слагаемых обязательно войдет сомножителем элемент нуле­вой строки (нулевого столбца).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Δ _n = -Δ _n откуда и следует, что Δ _n = 0.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно выне­сти за знак определителя.

5 Если каждый элемент некоторой строки (столбца) опре­делителя Δ _n представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей,

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы дру­гой строки (столбца), умноженные на любое число.

Это свойство является следствием свойств 3-5.

7. При транспонировании матрицы определитель не меня­ется.

 

63. Необходимое и достаточное условия невырожденности матрицы.

. Матрица порядка п называется вырожден­ной, если ее ранг r < п. Квадратная матрица является вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A ^-1, определяемую условиями

AA ^-1 = A ^-1 A = 1.

Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является

det(A) ≠ 0 или rank(A) = N.

 

 

64. Формула для вычисления обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

АВ= ВА=Е,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная к А, обозначается через А^-1, так что В= А^-1. Для матрицы А обратная ей матрица А^-1 определяется однозначно.

Справедливы следующие равенства:

1) D(А^-1)=(DА)^-1;

2) (А^-1)^-1=А;

3) (А₁А₂)^-1=А₂^-1А₁^-1;

4) (А^Т)^-1=(А^-1)^Т.

Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:

Предположим, что DА¹0. Построим следующую матрицу С следующим образом:

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.

Чтобы получить матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на DА, т.е. матрица А^-1 будет иметь следующий вид:

 

Пусть матрица А, имеет следующий вид:

Чтобы найти матрицу А^-1, обратную для матрицы А, необходимо:

- вычислить определитель матрицы (DА= -3);

- найти алгебраические дополнения элементов а_ij в определителе матрицы А:

- составить присоединённую матрицу С по формуле (2);

- разделить все элементы матрицы С на DА.

 

65. Правило Крамера для решения системы п линейных уравнений с п неизвестными.

Составим определитель матрицы систе­мы А:

 

 

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе j- й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим Δ _j:

 

Пример 1. Найти решение системы уравнений

 

 

Решение. Составим и вычислим определители системы Δ и Δ _j (j = x, y, z):

 

 

Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по форму­лам (15.6):

 

66. Декартова система координат. Прямая линия. Общее уравнение прямой линии на плоскости.

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене).
Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A, B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде:

 

67. Уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках; уравнение прямой, проходящей через две данные (несовпадающие) точки.