Наведемо ще один, як на нашу думку новий спосіб обчислення визначників, що ґрунтується на правилі прямокутника. Тут істотно застосовується властивість 8, що розглядалась в 1.3



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Наведемо ще один, як на нашу думку новий спосіб обчислення визначників, що ґрунтується на правилі прямокутника. Тут істотно застосовується властивість 8, що розглядалась в 1.3



Значення визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число.

Особливо зручною стає ця властивість тоді, коли серед елементів рядка (стовпця), які множаться на число є такий, що дорівнює 1.

Цей елемент вважають провідним, тоді решту елементів рядка (стовпця), за допомогою властивості 8 можна перетворити в нулі, в результаті чого можна знизити порядок визначника.

Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.

Отже, нехай дано

.

Домножимо елементи І-го рядка на і почленно додамо до ІІ-го рядка.

де - знайдено за правилом прямокутника (див. 1.1). Таким чином, ми звели визначник до трикутної форми, і його значення дорівнює добутку діагональних елементів та коефіцієнта , тобто

(1)

Застосуємо подібні перетворення для обчислення визначників ІІІ-го порядку

Згідно з властивістю визначників 8 домножимо елементи І-го рядка на і додамо до відповідних елементів ІІ-го рядка. На місці елемента отримаємо . Аналогічно, знову домножимо елементи І-го рядка на і додамо до відповідних елементів ІІІ-го рядка. На місці - теж . Після цього співмножник знову введемо в І-ий рядок, тоді

(2)

де елементи . - знайдені за правилом прямокутника (див. 1.1).

За співвідношенням (1) для мінора, що входить в останній визначник (2), маємо

де , при цьому вважається, що .

Отже, останній визначник із рівності (2) зводиться до трикутного вигляду, тобто в результаті маємо таку послідовність перетворень за правилом прямокутника

 

 

(3)

Для визначника 4-го порядку послідовність основних перетворень за правилом прямокутника має такий вигляд

(4)

Очевидно, що при переході до визначника вищого порядку, наприклад, 5-го, ми можемо за правилом прямокутника і властивістю 8 утворити в першому стовпці, крім , нулі і звести задачу до обчислення визначника 4-го порядку.

(5)

 

Тепер подамо алгоритм обчислення визначників за правилом прямокутника

1. Елемент вважається провіднимі при цьому в супротивному випадку необхідно поміняти, із урахуванням знаку, стовпці або рядки місцями так, щоб елемент у першому рядку і першому стовпці був відмінним від нуля.

2. Перед визначником ставимо співмножник , де - порядок визначника, назвемо його поправочним коефіцієнтом. Значення показника степеня збігається з кількістю нулів, які будуть стояти в першому стовпці нижче елемента .

3. Елементи першого стовпця, що лежать нижче елемента , заміняємо нулями, а всі інші – перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначені одним штрихом.

4. Наступним провідним елементом вибираємо по діагоналі .

5. Вводимо в поправочний коефіцієнт співмножник - кількість нулів, що будуть після у другому стовпці.

6. Замінюємо елементи ІІ-го стовпця, що лежать нижче нулями, а всі інші - перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначаються двома штрихами.

7. Процес перетворення продовжується поки не зведемо визначник до трикутної форми.

8. Знайдений добуток діагональних елементів скорочуємо з поправочними коефіцієнтами.

Зауваження. Описаний алгоритм у випадку дробових, або багатоцифрових елементів надійніше виконувати з застосуванням контролю, як це викладено в (1.1)

Приклад 1. Обчислити визначник: а) за алгоритмом; б) за допомогою обчислювальної таблиці з контролем.

 

а)

 

 

 


б) Обчислювальна таблиця

Сума Контроль
 
-1  
-1  
 
  -4 -11 -10 -10
  -3
  -2 -8 -2 -12 -12
   
   
     

 

За даними таблиці отримуємо визначник трикутного вигляду разом з поправочним коефіцієнтом

 

Приклад 2. Обчислити визначник


Обчислювальна таблиця

N п/п сума Конт- роль
-2  
-2  
-2  
 
 
  -16 -1 -11 -20 -20
 
  -6 -8 -8 -8 -8
  -8 -9 -23 -26 -26
    -240 -256 -80 -576 -576
    -176
    -160
      73 472 -5 120 68 352 68 352
      73 216 -56 320 168 896 168 896
        -3 763 077 120 -3 763 077 120 -3 763 077 120

 

Приклади

Обчислити визначники:

. .

 

 

. .

Відповіді:

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-07-14; просмотров: 191; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.144.55.253 (0.006 с.)