Границя послідовності. Границя функції

 

Нагадаємо, що закон, за яким кожному натуральному числу ставиться у відповідність число , визначає функцію натурального аргумента або послідовність чисел .

Означення 1. Число називається границею послідовності при (позначається ), якщо для довільного існує номер , що залежить від , такий, що для всіх наступних номерів виконується нерівність

,

або скорочено:

(14)

Якщо число є границею послідовнсті при , то ще прийнято говорити, що послідовність збігається до числа .

Наприклад, послідовність має своєю границею число , тобто .

Справді, розглянемо різницю

Тепер для як завгодно малого , наприклад, , можна підібрати номер , що залежить від , розв’язавши в даному випадку нерівність . Отже, якщо взяти , то тепер для всіх номерів маємо

Оскільки можна вибирати як завгодно малим, то число є границею послідовності при , або ж послідовність при збігається до числа .

Означення границі для послідовності, як для функції натурального (дискретного) аргумента, легко перенести і на функцію неперервного аргумента.

Означення 2. Число називається границею функції в точці , якщо ця функція визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , і якщо границя послідовності існує і дорівнює , яка б не була послідовність , збіжна до і така, що для всіх . Таким чином,

.

Ця границя повинна бути однаковою для всіх таких послідовностей, вона і є границею .

Границю функції можна означити безпосередньо, не користуючись границею послідовності.

Означення 3. Число називається границею функції при , якщо визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , і якщо для довільного існує число , що залежить від , таке, що із нерівності випливає нерівність , позначається

,

тобто

(15)

Означення 3 границі функції можна замінити більш спрощеним, яке на перших порах легше запам’ятовується.

Означення 4. Число називається границею функції при , якщо визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , і якщо із того, що різниця нескінченно мала випливає, що різниця теж нескінченно мала, тобто

(16)

Вияснимо геометричний зміст означення 3, скориставшись графіком функції (див. рис.21)

 

Рис. 21

 

Припустимо, що при прямуючому до , функція прямує до границі , тобто . Згідно означення 3 це значить, що для як завгодно малого можна знайти число таке, що із нерівності нерівність . Це означає, що для всіх , що знаходяться від точки не дальше ніж на , відповідні точки графіка функції попадають в середину смуги шириною , обмежену прямими і .

Можна довести, що означення 2 і 3 є еквівалентними.

Означення 2 зручно застосовувати для функцій, границя яких в даному процесі не існує. Розглянемо, наприклад, функцію при . Ця функція визначена для всіх значень , є парною, її графік симетричний відносно осі . Вияснимо поведінку функції для конкретних трьох послідовностей збіжних до при :

а) тоді для

б) тоді для

в) тоді для .

Отже, для наведених збіжних до нуля послідовностей функція не прямує ні до якої границі, тобто

не існує (див. частину графіка на рис. 22)

 

Рис. 22

 

Графік функції має вигляд нерівномірно стиснутої пружини: чим ближче до початку координат тим щільніше розміщуються окремі ланки пружини.

Означення 5. Число називається границею функції при або , якщо для як завгодно малого знайдеться число таке, що із нерівності випливає нерівність , при цьому пишуть

, або , або .

Таким чином співвідношення

залишається правильним і в тому випадку, коли або .

 

Властивості границь

 

Теорема 1. Якщо функцію при можна представити у вигляді суми сталої і нескінченно малої , тобто

, (1)

то

( – скінченне або ). (2)

Навпаки, якщо , то можна записати

де н.м. при .

Дійсно, нехай тоді де н.м. при , тобто для таке, що із нерівності нерівність , або , а це і значить, що має місце рівність (2).

Навпаки, нехай виконується рівність (2). А це означає, що для таке, що із Позначимо , тоді остання нерівність означає, що

тобто н.м.

Наслідок. Якщо то тобто границя сталої величини дорівнює цій сталій.

Дійсно, за теоремою 1 маємо або буде меншою .

Теорема 2. Нехай існують скінченні границі і .Тоді ,

за умови, що .

Доведемо, наприклад, другу рівність. За теоремою 1(формула 1) з того, що і маємо: де і – н.м. при . Розглянемо добуток н.м. За теоремою 1 маємо, що число є границею функції при , тобто

Рівності перша і третя теореми 2 доводяться аналогічно.

Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі, тобто якщо то

оскільки

Означення 1. Функція називається обмеженою при , якщо існує окіл з центром в точці , в якому функція обмежена.

Означення 2. Функція називається обмеженою при , якщо існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , функція обмежена.

Теорема 3. Якщо границя є скінченною, то функція обмежена при .

Доведення дамо, коли скінченне. Із рівності випливає, що для існує таке, що із випливає тобто обмежена.